Trigonométrie

[beb1]

j'ai un exercice de mathématiques et j bloque pour les 2 dernières questions pourriez-vous m'aider s'il vous plaît

vérifier que pour tous réels a et b :

a= (a+b)/2+(a-b)/2 b= (a+b)/2 - (a-b)/2

j'y suis arrivé

puis à l'aide de ces égalités transformer l'écriture de e^ia + e^ib

j'y suis arrivé enfin je pense j'ai trouver e^ia + e^ib = e^i((a+b)/2) * 2cos ((a-b)/2)

en déduire que

cos a + cos b = 2cos ((a+b)/2) * cos((a-b)/2)

sin a + sin b = 2sin ((a+b)/2) * cos ((a-b)/2)

je n'y arrive pas pourriez vous m'aider s'il vous plaît

et après je dois factoriser cos 3x +cos 2x puis en déduire les solutions réelles de l'équation cos 3x + cos 2x = cos (x/2) je n'y arrive pas non plus

merci d'avance

[elp]

a=(a+b)/2+(a-b)/2

b=(a+b)/2-(a-b)/2

e^ia=e^i((a+b)/2+(a-b)/2)=e^i(a+b)/2*e^i(a-b)/2)

cosa+isina=[cos(a+b)/2+isin(a+b)/2]*[cos(a-b)/2)+isin(a-b)/2]

cosa+isina=cos(a+b)/2*cos(a-b)/2-sin(a+b)/2*sin(a-b)/2)+icos(a+b)/2*sin(a-b)/2+isin(a+b)/2*cos(a-b)/2

on en déduit que cosa=cos(a+b)/2*cos(a-b)/2-sin(a+b)/2sin(a-b)/2

de même e^ib=cosb+isinb=

e^i(a+b)/2-(a-b)/2)=e^i(a+b)/2*e^i(-a+b)/2)=

[cos(a+b)/2+isin(a+b)/2)]*[cos(-a+b)/2+isin(-a+b)/2]=

cos(a+b)/2cos(a-b)/2-sin(a+b)/2*sin(-a+b)/2+isin(a+b)/2cos(a-b)/2+icos(a+b)/2*sin(-a+b)/2

on en déduit que cosb=cos(a+b)/2cos(a-b)/2-sin(a+b)/2*sin(-a+b)/2

dc cosa+cosb=

cos(a+b)/2*cos(a-b)/2-sin(a+b)/2sin(a-b)/2+cos(a+b)/2cos(a-b)/2-sin(a+b)/2*sin(-a+b)/2=

cos(a+b)/2*cos(a-b)/2-sin(a+b)/2sin(a-b)/2+cos(a+b)/2cos(a-b)/2+sin(a+b)/2*sin(a-b)/2=

2cos(a+b)/2*cos(a-b)/2

et en prenant les parties imaginaires

sin a+sinb=

cos(a+b)/2*sin(a-b)/2+sin(a+b)/2*cos(a-b)/2+sin(a+b)/2cos(a-b)/2+cos(a+b)/2*sin(-a+b)/2

cos(a+b)/2*sin(a-b)/2+sin(a+b)/2*cos(a-b)/2+sin(a+b)/2cos(a-b)/2-cos(a+b)/2*sin(a-b)/2=

sin(a+b)/2*cos(a-b)/2+sin(a+b)/2cos(a-b)/2=2cos(a-b)/2*sin(a+b)/2

[elp]

cos3x+cos2x est de la forme cosa + cosb

on utilise ce qui précède

cos3x+cos2x=2cos(5x/2)cos(x/2)

tu dois résoudre 2cos(5x/2)cos(x/2)=cos(x/2)

2cos(5x/2)cos(x/2)-cos(x/2)=0

cos(x/2)[2cos(5x/2)-1]=0

un produit est nul ssi un de ses facteurs est nul

tu dois résoudre

cos(x/2)=0 et 2cos(5x/2)-1=0

je te laisse finir