Exercices Sur Les Complexes Les Probabilité Et Les Intégrales

[emi94]

Bonjour j'ai un devoir maison à rendre pour la rentrée mais je n'arrive pas à tout faire.

Ci-joins mes réponses.

Exercice 1:

1. z_oméga =(z_A + z_B )/2

z_{oméga =-1/2}

_{donc les coordonnées de oméga sont (-1/2;0)}

AB=|z_AB|

AB=|z_A - z_B|

AB=|-3+4i|

AB=racine carré[(-3)² +4²]

AB=5

2. z_D=(3+9i)/(4+2i)

z_D=[(3+9i)/(4+2i)]*[(4-2i)/(4-2i)]

z_D=(3/2)+(3/2)*i

Pour que D appartienne au cercle C il faut que:

|z_:omega:D|=|z_:omega:A|=5/2

Calculons |z_:omega:D|

|z_:omega:D|=|z_oméga - z_D|

|z_:omega:D|=|2+(3/2)i|

|z_:omega:D|=racine carré[2²+(3/2)²]

|z_:omega:D|= 5/2

donc D appartient bien à C

3. a) je ne sais pas comment trouver le module

on sait que (:omega:I;:omega:E)=:pi:/4

or (:omega:I;:omega:E)=arg[(z_E-z_oméga)/(z_I-z_oméga)]

donc arg[(z_E-z_oméga)/(z_I-z_oméga)]=:pi:/4

de plus arg[(z_E-z_oméga)/(z_I-z_oméga)]=arg(z_E-z_oméga)-arg(z_I-z_oméga)

arg[(z_E-z_oméga)/(z_I-z_oméga)]=arg(z_E+(1/2))-arg[1-(-1/2)]

arg[(z_E-z_oméga)/(z_I-z_oméga)]=arg(z_E+(1/2)) car arg(2/3)=0

donc arg(z_E+(1/2))=:pi:/4

b)

4. a)on sait toute les rotation sont de la forme:

z'-w= e^ia(z-w)

par identification

r est une rotation avec a=:pi:/4 et w=-12=z_oméga

b) on applique r a z_K=2

z_K' + 1/2 = e^i(:pi:/4) (z_K+(1/2))

z_K' + 1/2 = e^i(:pi:/4) (2+(1/2))

z_K'=(5/2)*e^i(:pi:/4)

on cherche l'écriture algébrique de e^i(:pi:/4)

cos(:pi:/4)=x/(5/2)

soit x=(5/2)*cos(:pi:/4)

x=(5*racine carré(2))/4

sin(:pi:/4)=y/(5/2)

soit y=(5/2) *sin(:pi:/4)

y=(5*racine carré (2))/4

d'ou z_K'=(5*racine carré(2))/4 + [(5*racine carré (2))/4]*i -(1/2)

z_K'=[(5*racine carré(2))-2]/4 + [(5*racine carré(2))/4]*i

Je n'ai pas compris l'exercice 2

Problème

Partie A

1.a) f(x)=e^-x ln(1+e^x)

f(x)=(ln(1+e^x))/e^x

Posons h=e^x

Quand x tend vers -inf

lim e^x =0

donc quand h tend vers 0 lim (ln(1+h))/h=1 (théorème des croissance comparées)

donc lim f(x)=1

b) x/e^x + e^-x * ln(1+e^x) =x*e^-x + e^-x * ln(1+e^x)

=e^-x *(x+ln(1+e^-x))

=e^-x *(ln(e^x)+ln(1+e^-x))

=e^-x *(ln((1+e^-x)*e^x))

=e^-x*(ln(e^x+e^-x+x))

=e^-x*(ln(e^x+1))

= f(x)

on pose h=e^-x

quand x tend vers +inf lim e^-x =0

quand h tend vers 0

donc lim h*ln(1+h)=0 car lim ln(1+h)=0 (produit)

donc quand x tend vers +inf

lim e^-x * ln(1+e^x) =0

de plus lim x/e^x=0

donc par somme lim x/e^x + e^-x * ln(1+e^x)= 0

et lim f(x)=0

c)donc la fonction f admet deux asymptotes horizontales en -inf y=1 et en +inf y=0

2.a) g est une fonction dérivable sur ]-1;+inf[ car g est composée de fonctions dérivables sur ]-1;+inf[

g(x)=-t/(1+t)²

g' est positive sur ]-1;0[ donc g est strictement croissante sur ]-1;0[

g' est négative sur ]0;+inf[ donc g est strictement décroissante sur [0;+inf[

b) g(0)=0 donc pour tout t>0 g est négative

3.a) f est dérivable sur R car f est une fonction composée de fonctions dérivables sur R

f'(x)=-e^-x*(ln(1+e^x))+ (e^x /(1+e^x))*e^-x

f'(x)=e^-x *(-ln(1+e^x)+(e^x /(1+e^x)))

f'(x)=e^-x*g(e^x)

b) donc f'(x) est négatif donc f est strictement décroissante sur R

x | -inf +inf

f'(x) | -

f(x) |1 décroissante 0

Partie B

1.f est la dérivée de F

d'après le tableau de variation précédant

f est positive sur R

donc F est strictement croissante sur R

2.a) 1- e^t/(1+e^t) = (1+e^t)/(1+e^t) - e^t/(1+e^t)

= 1/(1+e^t)

Je me suis arrêtée là car je ne réussi ni la suite de la partie B ni la partie C

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir emi,

Bon, j'ai corrigé les deux premiers. Pour le deuxième, il n'y a rien, donc, j'ai rien à dire. Par contre pour le premier, jusqu'à 3) inclus, les calculs sont justes mais ça manque de phrase. Pour le 4), as tu vu les similitudes ? Si oui, sers t'en je t'en prie. Et pour la 4)b), ton calcul n'est pas clair.

BS

PS : Les probas ne sont pas ma spécialité. Donc, si tu vois un truc louche, dis le nous.

[emi94]

Pour la question 4 de l'exercice 1

j'ai juste mal rédiger le a) et le b) je n'avais pas compris la question et sur quoi je devais arriver c'est pourquoi ce n'est pas très clair

Pour l'exercice 2 je ne vois pas d'erreur tout ça me semble logique

[Boltzmann_Solver]

Pour la question 4 de l'exercice 1

j'ai juste mal rédiger le a) et le b) je n'avais pas compris la question et sur quoi je devais arriver c'est pourquoi ce n'est pas très clair

Pour l'exercice 2 je ne vois pas d'erreur tout ça me semble logique

[emi94]

merci

[Boltzmann_Solver]

merci

[emi94]

Partie B

1) d'après le tableau de variation f est positive sur R

f est la dérivée de F donc F est strictement croissante sur R

2) a. 1-(e^t/(1+e^t))=[(1+e^t)/(1+e^t)]-[e^t/(1+e^t)]

₀^x 1/(1+e^t)dt = ₀^x 1-[e^t/(1+e^t)]dt

F(x)=x-ln(1+e^x)

b. Je ne sais pas intégrer par partie

c.

f(x)=x-ln(1+e^x)-f(x)+2ln2

f(x)=lne^x-ln(1+e^x)-f(x)+2ln2

f(x)=ln(e^x/(1+e^x))-f(x)+2ln2

3) pour x tend vers +

lim f(x)= lim x-ln(1+e^x)-f(x)+2ln2= lim x[1-(ln(1+e^x)/x)]-f(x)+2ln2

or lim ln(1+e^x)=+ et lim x =+

donc par quotient lim ln(1+e^x)/x =0

par somme lim 1-(ln(1+e^x)/x)= 1

donc lim x[1-(ln(1+e^x)/x)]=+ (par produit car lim x=+)

de plus lim -f(x)=lim -1/(1+e^t)=0 car lim 1+e^t=+

donc par somme lim f(x) =+

4) quand x tend vers -

lim [F(x)-x]= lim x-ln(1+e^x)-f(x)+2ln2-x = lim -ln(1+e^x)-f(x)+2ln2

or lim -ln(1+e^x)=-ln1=0 car lim e^x=0

lim -f(x)= lim -1/(1+e^x)= -1/1=-1 car lim e^x=0

par somme on a lim [F(x)-x]= 0-1+2ln2=2ln2-1

[Boltzmann_Solver]

Partie B

1) d'après le tableau de variation f est positive sur R

f est la dérivée de F donc F est strictement croissante sur R

2) a. 1-(e^t/(1+e^t))=[(1+e^t)/(1+e^t)]-[e^t/(1+e^t)]

₀^x 1/(1+e^t)dt = ₀^x 1-[e^t/(1+e^t)]dt

F(x)=x-ln(1+e^x)

b. Je ne sais pas intégrer par partie

c.

f(x)=x-ln(1+e^x)-f(x)+2ln2

f(x)=lne^x-ln(1+e^x)-f(x)+2ln2

f(x)=ln(e^x/(1+e^x))-f(x)+2ln2

3) pour x tend vers +

lim f(x)= lim x-ln(1+e^x)-f(x)+2ln2= lim x[1-(ln(1+e^x)/x)]-f(x)+2ln2

or lim ln(1+e^x)=+ et lim x =+

donc par quotient lim ln(1+e^x)/x =0

par somme lim 1-(ln(1+e^x)/x)= 1

donc lim x[1-(ln(1+e^x)/x)]=+ (par produit car lim x=+)

de plus lim -f(x)=lim -1/(1+e^t)=0 car lim 1+e^t=+

donc par somme lim f(x) =+

4) quand x tend vers -

lim [F(x)-x]= lim x-ln(1+e^x)-f(x)+2ln2-x = lim -ln(1+e^x)-f(x)+2ln2

or lim -ln(1+e^x)=-ln1=0 car lim e^x=0

lim -f(x)= lim -1/(1+e^x)= -1/1=-1 car lim e^x=0

par somme on a lim [F(x)-x]= 0-1+2ln2=2ln2-1

[emi94]

correction de la partie B

2.a 1-(e^t/(1+e^t))=[(1+e^t)/(1+e^t)]-[e^t/(1+e^t)]=1/(e^t+1)

b.

3. lim -f(x)=lim - 1/(e^x+1) =0 car lim e^x+1=+

lim e^x/(e^x+1)= lim 1-[1/(e^x+1)]=1

car lim [1/(e^x+1)]=0

par composition lim ln(e^x/(e^x+1))=0

donc par somme lim F(x) = 0-0+2ln2=2ln2

4. F admet une asymptote horizontale en 2ln2+1

Je ne sais pas quoi faire pour la partie C

[Boltzmann_Solver]

correction de la partie B

2.a 1-(e^t/(1+e^t))=[(1+e^t)/(1+e^t)]-[e^t/(1+e^t)]=1/(e^t+1)

b.

3. lim -f(x)=lim - 1/(e^x+1) =0 car lim e^x+1=+ Travail inutile car fait précédement. Tu dis directement que lim -f(x) = -lim f(x) = -0 = 0

lim e^x/(e^x+1)= lim 1-[1/(e^x+1)]=1

car lim [1/(e^x+1)]=0

par composition lim ln(e^x/(e^x+1))=0

donc par somme lim F(x) = 0-0+2ln2=2ln2

4. F admet une asymptote horizontale en 2ln2-1

Je ne sais pas quoi faire pour la partie C

[emi94]

2a. Vous avez dit que je n'avais pas calculer ₀^x 1/(1+e^t) dt

on a f(t)=1/(1+e^t)=1-(e^t/(1+e^t)) donc f est continue R elle admet donc des primitives

soit F l'une d'elle

F(t)=t-ln(1+e^t)

On en déduit que ₀^x 1/(1+e^t) dt= [t-ln(1+e^t)]_0^x

=F(x)-F(0)

=x-ln(1+e^x)-0-ln2

=x-ln(1+e^x)-ln2

b.

b) Pour l'IPP, intègre l'exponentielle et dérive le ln

[Boltzmann_Solver]

2a. Vous avez dit que je n'avais pas calculer ₀^x 1/(1+e^t) dt

on a f(t)=1/(1+e^t)=1-(e^t/(1+e^t)) donc f est continue R elle admet donc des primitives

soit F l'une d'elle

F(t)=t-ln(1+e^t)

On en déduit que ₀^x 1/(1+e^t) dt= [t-ln(1+e^t)]_0^x

=F(x)-F(0)

=x-ln(1+e^x)-0-ln2

=x-ln(1+e^x)-ln2

b.

b) Pour l'IPP, intègre l'exponentielle et dérive le ln

[emi94]

Bonjour ^^

Je n'avais pas compris que la partie A était relié avec la partie B c'est pour cela que je ne savais pas qu'elle était la fonction f(x)

Voila l'intégration par partie de la fonction F(x)

F(x) = ₀^x f(t) dt= ₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt

On a u'(t)=e^-t donc u(t)=-e^-t

v(t)=ln(1+e^t) donc v'(t)= e^t/(1+e^t)

On en déduit que

₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt = [-e^-t * ln(1+e^t)]_0^x - ₀^x (e^t/(1+e^t))*(-e^-t) dt

₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt = -e^-x * ln(1+e^x) - (-1*(ln(1+1)) - ₀^x -1/(1+e^t) dt

car e^-t = 1/e^t donc on peut simplifier la fraction par e^t

₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt = -e^-x * ln(1+e^x) - (-1*(ln(1+1)) + ₀^x 1/(1+e^t) dt

₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt = -e^-x * ln(1+e^x) +ln2 + x-ln(1+e^x) +l n2

car d'après la question précédente ₀^x -1/(1+e^t) dt=x-ln(1+e^x)+ln2

₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt = -f(x) + x-ln(1+e^x) + 2ln2

donc F(x)=x-ln(1+e^x) -f(x) + 2ln2

Emi

[Boltzmann_Solver]

Bonjour ^^

Je n'avais pas compris que la partie A était relié avec la partie B c'est pour cela que je ne savais pas qu'elle était la fonction f(x)

Voila l'intégration par partie de la fonction F(x)

F(x) = ₀^x f(t) dt= ₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt

On a u'(t)=e^-t donc u(t)=-e^-t

v(t)=ln(1+e^t) donc v'(t)= e^t/(1+e^t)

On en déduit que

₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt = [-e^-t * ln(1+e^t)]_0^x - ₀^x (e^t/(1+e^t))*(-e^-t) dt

₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt = -e^-x * ln(1+e^x) - (-1*(ln(1+1)) - ₀^x -1/(1+e^t) dt

car e^-t = 1/e^t donc on peut simplifier la fraction par e^t

₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt = -e^-x * ln(1+e^x) - (-1*(ln(1+1)) + ₀^x 1/(1+e^t) dt

₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt = -e^-x * ln(1+e^x) +ln2 + x-ln(1+e^x) +l n2

car d'après la question précédente ₀^x -1/(1+e^t) dt=x-ln(1+e^x)+ln2

₀^x e^-t ln(1+e^-t) dt = -f(x) + x-ln(1+e^x) + 2ln2

donc F(x)=x-ln(1+e^x) -f(x) + 2ln2

Emi

[emi94]

Rebonjour ^^

Non je n'ai pas été aidée j'ai juste suivi la méthode sur le site que vous avez donné et je me suis appuyée l'exemple

pour la partie C

Le problème c'est que je ne sais pas prouver ce que je dis

1. Je pense qu'il faut hachurer entre l'axe des abscisses et la courbe C_f

2. La suite est croissante pour le prouver il faut faire une récurrence?

Emi

[Boltzmann_Solver]

Rebonjour ^^

Non je n'ai pas été aidée j'ai juste suivi la méthode sur le site que vous avez donné et je me suis appuyée l'exemple

pour la partie C

Le problème c'est que je ne sais pas prouver ce que je dis

1. Je pense qu'il faut hachurer entre l'axe des abscisses et la courbe C_f

2. La suite est croissante pour le prouver il faut faire une récurrence?

Emi

[Boltzmann_Solver]

Rebonjour ^^

Non je n'ai pas été aidée j'ai juste suivi la méthode sur le site que vous avez donné et je me suis appuyée l'exemple

pour la partie C

Le problème c'est que je ne sais pas prouver ce que je dis

1. Je pense qu'il faut hachurer entre l'axe des abscisses et la courbe C_f

2. La suite est croissante pour le prouver il faut faire une récurrence?

Emi