Intégrale

[Bond02]

Bonjour à tous,

Voilà je m'entraine sur des exercices, et en voici-un pour lequel, je rencontre des problèmes, c'est sur les intégrales. Et je ne comprend pas grand chose. Alors si quelqu'un pouvait me donner quelques explications, afin que je puisse un peu comprendre.

On considère la fonction carrée sur l'interaller [0;1] notée f et représentée par la courbe C.

On veut calculer l'aire sous la courbe C, c'est çà dire l'aire de la surface S comprise entre m'axe des abscisses, la courbe C et la droite d'équation x=1

On partage l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur (1/n).

On construit alors sur ces intervalles n rectangles intérieurs à la surface S (en gris sur le dessin) et n rectangles qui contiennent S (aux contours rouges sur le dessin).

On note Un la somme des aires de la prmière famille de rectangles et Vn la sommes des aires de la deuxieme famille

1. Montrer que Un=1/(n³) [0²+1²+...+(n-1)²] = 1/(n³) E^n-1 _k=0 k²

et Vn = 1/(n³) [1²+2²+ ...+n²] = 1/(n³) Eⁿ _k=1 k²

2. Montrer par récurrence que Eⁿ _k=1 k² = (n(n+1) (2n+1)) / 6

En déduire de nouvelles expressions des termes Un et Vn

3. Montrer que les deux suites sont adjacentes et calculer leur limite commune. En déduire une définition de l'aire de la surface S.

4. Déterminer une fonction constante g définie sur l'intervalle [0;1] telle que l'aire sous sa courbe R soit égale à l'aire de la surface S.4

( Le E aux questions 1 et 2, représente le E grec, qui indique qu'il s'agit d'une somme.)

Alors, je pense réussi la question 1, je le posterais ici, quand j'aurais avancer dans les autres questions, mais pour cela j'ai vraiment besoin d'une aide. Merci d'avance à tous pour votre aide, et vos explications.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour à tous,

Voilà je m'entraine sur des exercices, et en voici-un pour lequel, je rencontre des problèmes, c'est sur les intégrales. Et je ne comprend pas grand chose. Alors si quelqu'un pouvait me donner quelques explications, afin que je puisse un peu comprendre.

On considère la fonction carrée sur l'interaller [0;1] notée f et représentée par la courbe C.

On veut calculer l'aire sous la courbe C, c'est çà dire l'aire de la surface S comprise entre m'axe des abscisses, la courbe C et la droite d'équation x=1

On partage l'intervalle [0;1] en n intervalles de même longueur (1/n).

On construit alors sur ces intervalles n rectangles intérieurs à la surface S (en gris sur le dessin) et n rectangles qui contiennent S (aux contours rouges sur le dessin).

On note Un la somme des aires de la prmière famille de rectangles et Vn la sommes des aires de la deuxieme famille

1. Montrer que Un=1/(n³) [0²+1²+...+(n-1)²] = 1/(n³) E^n-1 _k=0 k²

et Vn = 1/(n³) [1²+2²+ ...+n²] = 1/(n³) Eⁿ _k=1 k²

2. Montrer par récurrence que Eⁿ _k=1 k² = (n(n+1) (2n+1)) / 6

En déduire de nouvelles expressions des termes Un et Vn

3. Montrer que les deux suites sont adjacentes et calculer leur limite commune. En déduire une définition de l'aire de la surface S.

4. Déterminer une fonction constante g définie sur l'intervalle [0;1] telle que l'aire sous sa courbe R soit égale à l'aire de la surface S.4

( Le E aux questions 1 et 2, représente le E grec, qui indique qu'il s'agit d'une somme.)

Alors, je pense réussi la question 1, je le posterais ici, quand j'aurais avancer dans les autres questions, mais pour cela j'ai vraiment besoin d'une aide. Merci d'avance à tous pour votre aide, et vos explications.

[Bond02]

Alors pour la 1:

sachant que l'aire d'un rectangle est largeur*hauteur:

on a un=1/n*f(0)+1/n*f(1/n)+1/n*f(2/n)+...+1/n*f((n-1)/n)

puis après avoir mis 1/n en facteur, et multiplier le tout par n² afin d'obtenir 1/n^3, on a:

un=1/n^3(0²+1²+2²+...+(n-1)²)

On fait de même pour vn, sauf que l'on part de: vn=1/n*f(1/n)+1/n*f(2/n)+...+1/n*f(1)

Pour la question 2, j'ai réussi à faire, en prenant chaque calcul à part, c'est à dire que Eⁿ_k=1 k² = E(n); et (n(n+1) (2n+1)) / 6 = F(n)

puis par récurrence, on arrive à prouver (en développant tout ça, bien sûr) que E(n+1)=F(n+1)

Puis donc un=((n-1)(2n-1))/6n²

et vn= ((n+1)(2n+1))/6n²

Pour la question 3, j'ai réussi à trouver que la limite de un-vn=-1/n et donc lim de -1/n=0

seulement, je n'arrive pas à prouver que l'une est décroissante et croissante, afin de prouver qu'elles sont adjacentes.

J'ai calculé leur dérivée à toutes les deux, et j'ai trouvé (un)'=(18n²-12n)/(6n²)²

et (vn)'=(-18n²-12n)/(6n²)²

sauf erreur de ma part, un est croissant sauf entre ces racines, qui sont 0 et 0.6666666667 et vn décroissant sauf entre ces racines, qui sont -0.666666667 et 0, donc cela ne peut prouver qu'elles sont adjacentes, puisque sur 0 et 0.666666667, elles sont toutes les deux décroissantes, alors ai-je fait une erreur?!

Et pour la suite, je ne comprend pas ce qu'ils attendent par "une définition de l'aire de la surface S". Et pour la question 4, je ne comprend rien du tout, après avoir essayer.

Merci d'avance pour tout.

[Boltzmann_Solver]

Alors pour la 1:

sachant que l'aire d'un rectangle est largeur*hauteur:

on a un=1/n*f(0)+1/n*f(1/n)+1/n*f(2/n)+...+1/n*f((n-1)/n)

puis après avoir mis 1/n en facteur, et multiplier le tout par n² afin d'obtenir 1/n^3, on a:

un=1/n^3(0²+1²+2²+...+(n-1)²)

On fait de même pour vn, sauf que l'on part de: vn=1/n*f(1/n)+1/n*f(2/n)+...+1/n*f(1)

Pour la question 2, j'ai réussi à faire, en prenant chaque calcul à part, c'est à dire que Eⁿ_k=1 k² = E(n); et (n(n+1) (2n+1)) / 6 = F(n)

puis par récurrence, on arrive à prouver (en développant tout ça, bien sûr) que E(n+1)=F(n+1)

Puis donc un=((n-1)(2n-1))/6n²

et vn= ((n+1)(2n+1))/6n²

Pour la question 3, j'ai réussi à trouver que la limite de un-vn=-1/n et donc lim de -1/n=0

seulement, je n'arrive pas à prouver que l'une est décroissante et croissante, afin de prouver qu'elles sont adjacentes.

J'ai calculé leur dérivée à toutes les deux, et j'ai trouvé (un)'=(18n²-12n)/(6n²)²

et (vn)'=(-18n²-12n)/(6n²)²

sauf erreur de ma part, un est croissant sauf entre ces racines, qui sont 0 et 0.6666666667 et vn décroissant sauf entre ces racines, qui sont -0.666666667 et 0, donc cela ne peut prouver qu'elles sont adjacentes, puisque sur 0 et 0.666666667, elles sont toutes les deux décroissantes, alors ai-je fait une erreur?!

Et pour la suite, je ne comprend pas ce qu'ils attendent par "une définition de l'aire de la surface S". Et pour la question 4, je ne comprend rien du tout, après avoir essayer.

Merci d'avance pour tout.

[Bond02]

Merci beaucoup pour tout!

[Boltzmann_Solver]

Merci beaucoup pour tout!