Fonction Exponentielle Complexe

[lolitaa]

Bonjour a tous

Cela fait une semaine que j'essaye de résoudre cet exercice mais je suis totalement bloqué ! Si ce serai possible de me donner des pistes sa serai génial parce que je ne sais même plus par où commencer.

1) En utilisant l'exponentielle complexe et le fait que pour tout x réel on a :

cos(x)= e^ix + e^-ix / 2 et sin(x)= e^ix - e^-ix / 2i

démontrer que pour tout réel x appartient [ -:pi:/2 ; + :pi:/2 ] on a :

:sqrt:2cos(x + :pi:/4) = cosx - sinx

Ps : J'ai essayer de faire cosx - sin x et sa ne mène à rien

2) En utilisant le cercle trigonométrique, justifier que pour tout x appartient [ -:pi:/2 ; + :pi:/2 ], cos(x + :pi:/4) est positif sur [ -:pi:/2 ; + :pi:/4 ] et négatif sur [ +:pi:/4 ; + :pi:/2 ]

Merci d'avance pour tout vos conseils

[Boltzmann_Solver]

Bonjour a tous

Cela fait une semaine que j'essaye de résoudre cet exercice mais je suis totalement bloqué ! Si ce serai possible de me donner des pistes sa serai génial parce que je ne sais même plus par où commencer.

1) En utilisant l'exponentielle complexe et le fait que pour tout x réel on a :

cos(x)= e^ix + e^-ix / 2 et sin(x)= e^ix - e^-ix / 2i

démontrer que pour tout réel x appartient [ -:pi:/2 ; + :pi:/2 ] on a :

:sqrt:2cos(x + :pi:/4) = cosx - sinx

Ps : J'ai essayer de faire cosx - sin x et sa ne mène à rien

2) En utilisant le cercle trigonométrique, justifier que pour tout x appartient [ -:pi:/2 ; + :pi:/2 ], cos(x + :pi:/4) est positif sur [ -:pi:/2 ; + :pi:/4 ] et négatif sur [ +:pi:/4 ; + :pi:/2 ]

Merci d'avance pour tout vos conseils

[lolitaa]

Bonjour a tous

Cela fait une semaine que j'essaye de résoudre cet exercice mais je suis totalement bloqué ! Si ce serai possible de me donner des pistes sa serai génial parce que je ne sais même plus par où commencer.

1) En utilisant l'exponentielle complexe et le fait que pour tout x réel on a :

cos(x)= e^ix + e^-ix / 2 et sin(x)= e^ix - e^-ix / 2i

démontrer que pour tout réel x appartient [ -/2 ; + /2 ] on a :

:sqrt:2cos(x + /4) = cosx - sinx

Ps : J'ai essayer de faire cosx - sin x et sa ne mène à rien

2) En utilisant le cercle trigonométrique, justifier que pour tout x appartient [ -/2 ; + /2 ], cos(x + /4) est positif sur [ -/2 ; + /4 ] et négatif sur [ +/4 ; + /2 ]

Merci d'avance pour tout vos conseils

[Boltzmann_Solver]

Q1 :

sqrt(2)*cos(x+pi/4) = sqrt(2)/2*(exp(i(x+pi/4))+exp(-i(x+pi/4)))

= sqrt(2)/2*exp(i*pi/4)*(exp(ix)+exp(-ix-pi/2))

= sqrt(2)/2*exp(i*pi/4)*(exp(ix)+exp(-ix)*exp(-pi/2))

= sqrt(2)/2*exp(i*pi/4)*(exp(ix)-i*exp(-ix))

= 1/2*(1+i)(exp(ix)-i*exp(-ix))

= 1/2*(exp(ix) - i*exp(-ix) + i*exp(-ix) + exp(-ix))

= (exp(ix)+ exp(-ix))/2 - (exp(ix) - exp(-ix))/(2i)

= cos(x) - sin(x)

(Ca aurait été plus facile avec les formules d'addition...)

Q2 :

[lolitaa]

Merci pour ce corrigé très détaillé mais je ne comprend pas comment passer de la troisième à la quatrième ligne ? Et à la premère ligne tout ce qui se situe après l'expo est bien en exposant ? C'est à dire que je dois l'écrire :

2/2*e^i(x+pi/4) +e^-i(x+pi/4)

Puis pour la question 2) je dois prendre comme ensemble de définition pour cos(x) [0; ] ?

[Boltzmann_Solver]

Merci pour ce corrigé très détaillé mais je ne comprend pas comment passer de la troisième à la quatrième ligne ? Et à la premère ligne tout ce qui se situe après l'expo est bien en exposant ? C'est à dire que je dois l'écrire :

2/2*e^i(x+pi/4) +e^-i(x+pi/4)

Puis pour la question 2) je dois prendre comme ensemble de définition pour cos(x) [0; ] ?

[lolitaa]

Merci pour ce corrigé très détaillé mais je ne comprend pas comment passer de la troisième à la quatrième ligne ? Et à la premère ligne tout ce qui se situe après l'expo est bien en exposant ? C'est à dire que je dois l'écrire :

2/2*e^i(x+pi/4) +e^-i(x+pi/4)

Puis pour la question 2) je dois prendre comme ensemble de définition pour cos(x) [0; ] ?

[Boltzmann_Solver]

Merci pour ce corrigé très détaillé mais je ne comprend pas comment passer de la troisième à la quatrième ligne ? Et à la premère ligne tout ce qui se situe après l'expo est bien en exposant ? C'est à dire que je dois l'écrire :

2/2*e^i(x+pi/4) +e^-i(x+pi/4)

Puis pour la question 2) je dois prendre comme ensemble de définition pour cos(x) [0; ] ?

[lolitaa]

Merci pour ce corrigé très détaillé mais je ne comprend pas comment passer de la troisième à la quatrième ligne ? Et à la premère ligne tout ce qui se situe après l'expo est bien en exposant ? C'est à dire que je dois l'écrire :

2/2*e^i(x+pi/4) +e^-i(x+pi/4)

Puis pour la question 2) je dois prendre comme ensemble de définition pour cos(x) [0; ] ?

[lolitaa]

Merci pour ce corrigé très détaillé mais je ne comprend pas comment passer de la troisième à la quatrième ligne ? Et à la premère ligne tout ce qui se situe après l'expo est bien en exposant ? C'est à dire que je dois l'écrire :

2/2*e^i(x+pi/4) +e^-i(x+pi/4)

Puis pour la question 2) je dois prendre comme ensemble de définition pour cos(x) [0; ] ?

[Boltzmann_Solver]

Merci pour ce corrigé très détaillé mais je ne comprend pas comment passer de la troisième à la quatrième ligne ? Et à la premère ligne tout ce qui se situe après l'expo est bien en exposant ? C'est à dire que je dois l'écrire :

2/2*e^i(x+pi/4) +e^-i(x+pi/4)

Puis pour la question 2) je dois prendre comme ensemble de définition pour cos(x) [0; ] ?

[lolitaa]

Merci pour ce corrigé très détaillé mais je ne comprend pas comment passer de la troisième à la quatrième ligne ? Et à la premère ligne tout ce qui se situe après l'expo est bien en exposant ? C'est à dire que je dois l'écrire :

2/2*e^i(x+pi/4) +e^-i(x+pi/4)

Puis pour la question 2) je dois prendre comme ensemble de définition pour cos(x) [0; ] ?

[Boltzmann_Solver]

Merci pour ce corrigé très détaillé mais je ne comprend pas comment passer de la troisième à la quatrième ligne ? Et à la premère ligne tout ce qui se situe après l'expo est bien en exposant ? C'est à dire que je dois l'écrire :

2/2*e^i(x+pi/4) +e^-i(x+pi/4)

Puis pour la question 2) je dois prendre comme ensemble de définition pour cos(x) [0; ] ?