Momow Posté(e) le 13 mars 2010 Signaler Posté(e) le 13 mars 2010 Voilà mon nouveau DM de maths. A peine le précédent rendu, cadeau un nouveau >..< ! Bref, je le trouve..ignoble celui-là j'ai commencé à le faire et bien...impossible ! Bref, je vous donne le scan ! EXERCICE 1 : I. a. J'ai calculé z1 à z6 mais je ne suis pas sûre de mes résultats : z1 = (racine3/2)* exp(i pi/6) z2 = (3/4)* exp(i pi/3) z3 = (3*racine3/8)*exp(i pi/2) z4= (9/16) * exp(i 2pi/3) z5 = (9racine3/16)*exp(i 5pi/6) z6 = 27/128 * exp(i pi) Je trouve quelques résultats suspects car trop compliqués =S . II. a. J'ai tenté de prouver par reccurence l'expression mais je n'y arrive pas. b. dn = (3/4 + i racine3/4)*(dn-1) ???? Je me suis arrêtée là comme je suis complêtement bloquée ! EXERCICE 3 et 2 : paumée >...< Bref, je lance un grand help ='( . Merciiii ^^
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 13 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 13 mars 2010 Voilà mon nouveau DM de maths. A peine le précédent rendu, cadeau un nouveau >..< ! Bref, je le trouve..ignoble celui-là j'ai commencé à le faire et bien...impossible ! Bref, je vous donne le scan ! EXERCICE 1 : I. a. J'ai calculé z1 à z6 mais je ne suis pas sûre de mes résultats : z1 = (racine3/2)* exp(i pi/6) z2 = (3/4)* exp(i pi/3) z3 = (3*racine3/8)*exp(i pi/2) z4= (9/16) * exp(i 2pi/3) z5 = (9racine3/16)*exp(i 5pi/6) z6 = 27/128 * exp(i pi) Je trouve quelques résultats suspects car trop compliqués =S . II. a. J'ai tenté de prouver par reccurence l'expression mais je n'y arrive pas. b. dn = (3/4 + i racine3/4)*(dn-1) ???? Je me suis arrêtée là comme je suis complêtement bloquée ! EXERCICE 3 et 2 : paumée >...< Bref, je lance un grand help ='( . Merciiii ^^
Momow Posté(e) le 15 mars 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 15 mars 2010 Ah d'accord ! En utilisant la formule je trouve : z5 = (9sqrt3/32)*exp(i 5pi/6) et z6 = 27/64 * exp(i pi) II. a. Pour la vérification j'ai tenté une réccurrence je m'embrouille, je ne pense pas que ce soit la bonne solution. Alors j'ai tenté avec p comme ovus l'avez défini. Zn = p * z(n-1) et z(n+1) = p * zn donc z(n+1) -zn = p*zn-p*(zn-1) = p*(sn -z(n-1)) b. dn = l z(n+1) -zn l = l p * ( zn - z(n-1) l = l p l * l zn - z(n-1) l or l p l = sqrt3/2 donc dn = sqrt3/2 * l zn - z(n-1) l Donc dn = sqrt3/2 * D(n-1) Dn est une suite géométrique de premier terme D0 = l z1 - z0 l = l p l ) sqrt3 /2 et de raison sqrt3/2 D'où Dn = ((2sqrt3)/4)^n * sqrt3/2 Voilà pour le moment ^^ (je le fais en parallèle maintenant xD !)
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 15 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 15 mars 2010 Ah d'accord ! En utilisant la formule je trouve : z5 = (9sqrt3/32)*exp(i 5pi/6) et z6 = 27/64 * exp(i pi) II. a. Pour la vérification j'ai tenté une réccurrence je m'embrouille, je ne pense pas que ce soit la bonne solution. Alors j'ai tenté avec p comme ovus l'avez défini. Zn = p * z(n-1) et z(n+1) = p * zn donc z(n+1) -zn = p*zn-p*(zn-1) = p*(sn -z(n-1)) b. dn = l z(n+1) -zn l = l p * ( zn - z(n-1) l = l p l * l zn - z(n-1) l or l p l = sqrt3/2 donc dn = sqrt3/2 * l zn - z(n-1) l Donc dn = sqrt3/2 * D(n-1) Dn est une suite géométrique de premier terme D0 = l z1 - z0 l = l p l ) sqrt3 /2 et de raison sqrt3/2 D'où Dn = ((2sqrt3)/4)^n * sqrt3/2 Voilà pour le moment ^^ (je le fais en parallèle maintenant xD !)
Momow Posté(e) le 15 mars 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 15 mars 2010 Ah oui mon D0 >...< 2a. La définition de n ? b. le revoilà tout beau (normalement >...<) d0 = l p -1 l = sqrt (1/16 + 3/16) = 1/2 ! C'est mieux ??!! Je suis désolée pour la suite je vais mettre que les résultats car je dois me depecher =S ! (va falloir que je laisse l'ordi !) c. Dn est la longueur du segment [anan+1] d. Ln = 1/2 * [(1-(sqrt3/2)^(n+1)]/[1- (sqrt3/2] Lim Ln = 1/2 * 1/[1-sqrt3/2] 3a. arg(zn) = pi/6 + arg(zn-1) Je suis pas du tout sûre pour cella là ! b. an = n * pi/6 c. Je n'y suis pas du tout arrivée celle là =S
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 15 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 15 mars 2010 Ah oui mon D0 >...< 2a. La définition de n ? b. le revoilà tout beau (normalement >...<) d0 = l p -1 l = sqrt (1/16 + 3/16) = 1/2 ! C'est mieux ??!! Je suis désolée pour la suite je vais mettre que les résultats car je dois me depecher =S ! (va falloir que je laisse l'ordi !) c. Dn est la longueur du segment [anan+1] d. Ln = 1/2 * [(1-(sqrt3/2)^(n+1)]/[1- (sqrt3/2] Lim Ln = 1/2 * 1/[1-sqrt3/2] 3a. arg(zn) = pi/6 + arg(zn-1) Je suis pas du tout sûre pour cella là ! b. an = n * pi/6 c. Je n'y suis pas du tout arrivée celle là =S
Momow Posté(e) le 15 mars 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 15 mars 2010 Merci Bien =D Bonne soirée alors!
Momow Posté(e) le 16 mars 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 16 mars 2010 Alors alors, rebonjour =D Pour l'exo 2 : I. a. Pour prouver que la suite est géométrique, on calcule an+1/an = (un+1 - vn+1) / (un-vn) = (2Vn+Un-Vn-pUn)/ (1+p) * 1/(un-vn) = (2vn+2pvn+un+pun-3vn-3pun)/(3un!vn+3pun+3pvn) = (-vn+2pvn+un-2pun) / [(3(1+p)(un-vn)] = (un-vn)+2(vn-un) / 3(1+p)(un-vn) = (un-vn)(1-2p)] / [3(1+p)(un-vn] = 1+2p / 3+3p Donc an est géométrique de raison q= (1-2p) / (3+3p) . Donc an = q^n*a0 où a0 = u0-v0 = 5 ---> an = q^n*5 b. Pour trouver le signe de an on calcule an+1 - an = un+1-vn+1-un+vn = (2vn+un)/3 - (vn+pun/1+p) - (3un+3pun/3+3p) - (3vn+3pvn/ 3+3p) = (2vn+2pvn+un+pun-3vn-3pun-3un-3pun-3vn+3pvn)/(3+p) = (2un+5pvn-2un-5pun)/3+3p = (2(un-vn) - 5p(un-vn)) / 3+3p = ((un-vn)(-2-5p))/3+3p = an(-2-5p)/3+3p Or an = ((1-2p)/(3+3p))^n*5 Avec - 5 > 0 - 1-2p > 0 > -2p > -1 > 0< p < 1/2 - 3+3p > 0 toujours vrai car p appartient à R donc -2-5p < 0 toujours vrai . Donc on a an strict décroissante ssi^p appartient ) ]0;1/2[ II. a. bn+1-bn = 3pun+1 + 2(1+p)vn+1 - 3pun-2(1+p)vn = 3p(un+1 -vn) + 2(1+p)(vn+1 - vn) = 3p ((2vn+un-3un)/3) + 2(1-p)[vn+pun-vn(1+p)/(1+p)] = 2pvn - 2pun+2vn+2pun-2vn-2pvn = 0 (bn) est donc une suite constante. b. bn = 1^n * b0 avec b0 = 3p*6+2(1+p)*1=18p+2(1+p) c. 3pun+2(1+p)vn = 1^n(3pu0+2(1+p)v0) > 3pun+2(1+p)vn = 1^n(18p+2+2p) > 3pun+2(1+p)vn = 1^n(20p+2) > un = [^n(20p+2)-2(1+p)vn]/3p et vn = [1^n(20p+2)-3pun]/(2(1+p)) Voilà pour mon exo 2 mais je ne suis pas trop sûre hein =S et désolée pour le roman =x
Momow Posté(e) le 16 mars 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 16 mars 2010 A présent mon Exo 3 (désolée pour le double post) 1. e(-nt²) existe sur R donc sur l'ensemble que forme les bornes de l'intégrale cad [0, alpha] donc (un) existe. 2. Je noterai I(0,alpha) pour le symbole intégrale de 0 à alpha ce sera plus simple ^^. un+1-un = I(0;alpha) (exp-(n+1)²)dt - I(0;alpha)(exp(-nt²))dt = I[exp(-(n+1)t²)-exp((-nt²)] dt = I (exp[-nt² -t²)-exp(-nt²)]dt = I [exp(-nt²)(exp(-t²) -1)]dt = I exp(-nt²)dt * I exp(-t²) -1dt = I [exp(-(n+1)t²)dt - I exp(-nt²)dt = exp(-(n+1)t²) * (alpha-0) - exp(-nt²) *(alpha -0) = alpha*exp(-nt²)- t²-alpha*exp(-nt²) = alpha*exp(-nt²)*(exp(t²)-1) Avec alpha*exp(-nt²) > 0 et exp(-t²) > 0 > exp(-t²) > 1 > -t² > 0 > t² > 0 Impossible ---> exp(-t²) toujours inf. à 0. Donc (un) strictement décroissante 3. a. exp(-nt²) > 1 > -nt² > 0 > nt²<0 Impossible car n=> 2 donc exp(-nt²)<1 pour n =>2 b. exp(-nt²) < 1 et 0<1/lnn donc I (0; 1/lnn)[exp(-nt²)dt ] 1/lnn 4.a. Lim 1/lnn = 0 car lim1 = 1 et limlnn = +inf b. Hypothèses : - (un) strict décroissante - lim 1/lnn=0 - n =>a - a >0 Donc ---> Pour tout n => a, 1/lnn < alpha 5. On a : - exp(-nt²) > 0 et 1/lnn < alpha donc 0<= I(1/lnn; alpha) [ exp(-nt²) dt] I(0 ; 1/lnn) exp(-nt²) dt 1/lnn < alpha I(1/lnn ; alpha) exp(-nt²) dt = I ( 1/lnn ; 0) exp(-nt²)dt * I ( 0; alpha) exp ( -nt²) dt = - I(0 ; 1/lnn) exp(-nt²)dt + I(0;alpha) expt(-nt²) dt 0 exp(-nt²) 1 > 0 exp(-nt²) exp0 et 1/lnn < alpha et lim 1/lnn = 0 on a Pour tout n sup ou égal à A 0 exp(-nt²) exp(-n(1/lnn))² > 0 exp(-nt²) exp(-n/(lnn)²) Donc avec la dernière expréssion et 1/lnn < alpha : 0 I ( 1/lnn ; alpha) exp(-nt²) dt (alpha - 1/lnn)*exp(-n/(lnn)²) 6. Lim x/ (lnx)² = lim eX / X² = + inf avec X = lnx et lim lnx = +inf 7. (un) strictement décroissante et minorée par a 0 donc elle converge vers 0 ---> limun =0 Voilà voilà ! OUf x) J'ai sûrement des fautes de méthodes ou de calculs =S Bonne lecture x)
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 16 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 16 mars 2010 Bonsoir momow, Arggg !!! Tu as bien travaillé !!! Tu as tout fait seule ou tu as été aidé (c'est pas reproche, loin de là). Mais si tu as fait seule, c'est déjà pas si mal. Il va me falloir un moment pour tout lire et corriger. N'attends rien avant 20h30 voir 21h suivant la durée du repas . @ ce soir.
Momow Posté(e) le 16 mars 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 16 mars 2010 Non non on m'a aidé =D Je l'ai fais avec une amie de ma classe ( solidarité lol ) ^^ Pas de souci, je ne répondrai peut-être pas ce soir (Dr house oblige hihi) mais demain après midi sans problème. Merci beaucoup de me consacrer du temps =). Ah oui, à propos du DM pour lequel vous m'avez donné un très bon coup de main j'ai eu 15/20 =D ! Voilà voilà ! Merci encore et bon appétit !
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 16 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 16 mars 2010 Alors alors, rebonjour =D Pour l'exo 2 : I. a. Pour prouver que la suite est géométrique, on calcule an+1/an = (un+1 - vn+1) / (un-vn) = (2Vn+Un-Vn-pUn)/ (1+p) * 1/(un-vn) = (2vn+2pvn+un+pun-3vn-3pun)/(3un!vn+3pun+3pvn) = (-vn+2pvn+un-2pun) / [(3(1+p)(un-vn)] = (un-vn)+2(vn-un) / 3(1+p)(un-vn) = (un-vn)(1-2p)] / [3(1+p)(un-vn] = 1+2p / 3+3p Donc an est géométrique de raison q= (1-2p) / (3+3p) . Donc an = q^n*a0 où a0 = u0-v0 = 5 ---> an = q^n*5 b. Pour trouver le signe de an on calcule an+1 - an = un+1-vn+1-un+vn = (2vn+un)/3 - (vn+pun/1+p) - (3un+3pun/3+3p) - (3vn+3pvn/ 3+3p) = (2vn+2pvn+un+pun-3vn-3pun-3un-3pun-3vn+3pvn)/(3+p) = (2un+5pvn-2un-5pun)/3+3p = (2(un-vn) - 5p(un-vn)) / 3+3p = ((un-vn)(-2-5p))/3+3p = an(-2-5p)/3+3p Or an = ((1-2p)/(3+3p))^n*5 Avec - 5 > 0 - 1-2p > 0 > -2p > -1 > 0< p < 1/2 - 3+3p > 0 toujours vrai car p appartient à R donc -2-5p < 0 toujours vrai . Donc on a an strict décroissante ssi^p appartient ) ]0;1/2[ II. a. bn+1-bn = 3pun+1 + 2(1+p)vn+1 - 3pun-2(1+p)vn = 3p(un+1 -vn) + 2(1+p)(vn+1 - vn) = 3p ((2vn+un-3un)/3) + 2(1-p)[vn+pun-vn(1+p)/(1+p)] = 2pvn - 2pun+2vn+2pun-2vn-2pvn = 0 (bn) est donc une suite constante. b. bn = 1^n * b0 avec b0 = 3p*6+2(1+p)*1=18p+2(1+p) c. 3pun+2(1+p)vn = 1^n(3pu0+2(1+p)v0) > 3pun+2(1+p)vn = 1^n(18p+2+2p) > 3pun+2(1+p)vn = 1^n(20p+2) > un = [^n(20p+2)-2(1+p)vn]/3p et vn = [1^n(20p+2)-3pun]/(2(1+p)) Voilà pour mon exo 2 mais je ne suis pas trop sûre hein =S et désolée pour le roman =x
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 16 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 16 mars 2010 Non non on m'a aidé =D Je l'ai fais avec une amie de ma classe ( solidarité lol ) ^^ Pas de souci, je ne répondrai peut-être pas ce soir (Dr house oblige hihi) mais demain après midi sans problème. Merci beaucoup de me consacrer du temps =). Ah oui, à propos du DM pour lequel vous m'avez donné un très bon coup de main j'ai eu 15/20 =D ! Voilà voilà ! Merci encore et bon appétit !
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 16 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 16 mars 2010 A présent mon Exo 3 (désolée pour le double post) 1. e(-nt²) existe sur R donc sur l'ensemble que forme les bornes de l'intégrale cad [0, alpha] donc (un) existe. 2. Je noterai I(0,alpha) pour le symbole intégrale de 0 à alpha ce sera plus simple ^^. un+1-un = I(0;alpha) (exp-(n+1)²)dt - I(0;alpha)(exp(-nt²))dt = I[exp(-(n+1)t²)-exp((-nt²)] dt = I (exp[-nt² -t²)-exp(-nt²)]dt = I [exp(-nt²)(exp(-t²) -1)]dt = I exp(-nt²)dt * I exp(-t²) -1dt = I [exp(-(n+1)t²)dt - I exp(-nt²)dt = exp(-(n+1)t²) * (alpha-0) - exp(-nt²) *(alpha -0) = alpha*exp(-nt²)- t²-alpha*exp(-nt²) = alpha*exp(-nt²)*(exp(t²)-1) Avec alpha*exp(-nt²) > 0 et exp(-t²) > 0 > exp(-t²) > 1 > -t² > 0 > t² > 0 Impossible ---> exp(-t²) toujours inf. à 0. Donc (un) strictement décroissante 3. a. exp(-nt²) > 1 > -nt² > 0 > nt²<0 Impossible car n=> 2 donc exp(-nt²)<1 pour n =>2 b. exp(-nt²) < 1 et 0<1/lnn donc I (0; 1/lnn)[exp(-nt²)dt ] 1/lnn 4.a. Lim 1/lnn = 0 car lim1 = 1 et limlnn = +inf b. Hypothèses : - (un) strict décroissante - lim 1/lnn=0 - n =>a - a >0 Donc ---> Pour tout n => a, 1/lnn < alpha 5. On a : - exp(-nt²) > 0 et 1/lnn < alpha donc 0<= I(1/lnn; alpha) [ exp(-nt²) dt] I(0 ; 1/lnn) exp(-nt²) dt 1/lnn < alpha I(1/lnn ; alpha) exp(-nt²) dt = I ( 1/lnn ; 0) exp(-nt²)dt * I ( 0; alpha) exp ( -nt²) dt = - I(0 ; 1/lnn) exp(-nt²)dt + I(0;alpha) expt(-nt²) dt 0 exp(-nt²) 1 > 0 exp(-nt²) exp0 et 1/lnn < alpha et lim 1/lnn = 0 on a Pour tout n sup ou égal à A 0 exp(-nt²) exp(-n(1/lnn))² > 0 exp(-nt²) exp(-n/(lnn)²) Donc avec la dernière expréssion et 1/lnn < alpha : 0 I ( 1/lnn ; alpha) exp(-nt²) dt (alpha - 1/lnn)*exp(-n/(lnn)²) 6. Lim x/ (lnx)² = lim eX / X² = + inf avec X = lnx et lim lnx = +inf 7. (un) strictement décroissante et minorée par a 0 donc elle converge vers 0 ---> limun =0 Voilà voilà ! OUf x) J'ai sûrement des fautes de méthodes ou de calculs =S Bonne lecture x)
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 17 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 17 mars 2010 Bonjour à tous, J'ai été un peu avare en détail. 6) Ta méthode est juste mais il y a plus simple (merci elp pour la remarque). lim_{x--->+inf} x/ln²(x) = lim_{x--->+inf} (sqrt(x)/ln(x))² = +inf car par croissance comparée sqrt(x)/ln(x) tand vers +inf et cela mis au carré donne encore +inf. 7) La, j'ai été encore plus avare en détail. Pour tout n => A, d'après 3)b et 5), (Pour le deuxième zéro, on mirore l'exp par 0) 0 int(exp(-nt²),t,0,1/ln(n)) + int(exp(-nt²),t,1/ln(n),alpha) exp(-n/ln²(n))*(alpha-1/ln(n)) + 1/ln(n) 0 int(exp(-nt²),t,0,alpha) exp(-n/ln²(n))*(alpha-1/ln(n)) + 1/ln(n) 0 Un exp(-n/ln²(n))*(alpha-1/ln(n)) + 1/ln(n) Par application du Th. des Gendarmes, lim_{n--->+inf} Un = 0, car lim_{n--->+inf} exp(-n/ln²(n))*(alpha-1/ln(n)) + 1/ln(n) = 0 Voilou. PS : Tu le rends cet aprèm ?
Momow Posté(e) le 17 mars 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 17 mars 2010 Ah très bien =D Je pense avoir à peu près tout compris =) J'ai juste une dernière petite question sur l'exercice 1 ! Pour la question, 2.d. avec la somme Ln. En fait, je ne suis pas sûre de la réponse que j'ai donné car c'est l'amie avec qui j'ai travaillé qui m'a donné cette réponse et je n'ai pas compris en fait =) . Ce serait possible de tenter de m'y faire voir un peu plus clair ? =x (je le rends demain.) Merci =)
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 17 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 17 mars 2010 Ah très bien =D Je pense avoir à peu près tout compris =) J'ai juste une dernière petite question sur l'exercice 1 ! Pour la question, 2.d. avec la somme Ln. En fait, je ne suis pas sûre de la réponse que j'ai donné car c'est l'amie avec qui j'ai travaillé qui m'a donné cette réponse et je n'ai pas compris en fait =) . Ce serait possible de tenter de m'y faire voir un peu plus clair ? =x (je le rends demain.) Merci =)
Momow Posté(e) le 17 mars 2010 Auteur Signaler Posté(e) le 17 mars 2010 Ah ouaiiiiis x) Okayyy tout s'éclaire ^^ Fort grand merci ^^
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 17 mars 2010 E-Bahut Signaler Posté(e) le 17 mars 2010 Ah ouaiiiiis x) Okayyy tout s'éclaire ^^ Fort grand merci ^^
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