Dm De Terminale S

[emi94]

Voici mon devoir maison pour le lundi de la rentré

Je n'arrive pas le premier exercice même la première question

Pour le second exercice je n'arrive pas à répondre aux questions de la partie B 3,7,8 et 9.

Quelqu'un pourrait il m'aider?

Ci-joint mes réponses de l'exercice 2

Partie A

1) quand x tend vers -2:

lim [ln(2+x)]=lim ln(0) = -l'infini et lim (-x)=2

par somme lim f(x)=-l'infini

quand x tend vers +l'infini:

on a ln(2+x)-x = [[(ln(2+x))/x]-1]*x

or lim [(ln(2+x))/x]=0 (théorème des croissance comparées)

donc lim [[(ln(2+x))/x]-1]=-1

et lim x=+l'infini

Par somme lim f(x)=-l'infini

2) f est une fonction composée de fonctions dérivables sur ]-2; +l'infini[

donc f est dérivables sur ]-2; +l'infini[

f'(x)=1/(2+x) -1

On résout f'(x)

donc 0= 1/(2+x) -1

1=1/(2+x)

2+x=1

x=-1

donc f'(x) est positif sur ]-2; +l'infini[

et f'(x) est négatif sur ]-2; +l'infini[

en -1 f'(x) s'annule

3)

x |-2 -1 +l'infini

f'(x)| + 0 -

f(x) |-l'infini croissante 1 décroissante -l'infini

4) on remplace alpha par a et bêta par b

d'après le tableau de variation sur ]-2;-1[ f est strictement croissante

et d'après le théorème de la bijection

il existe une unique solution b dans ]-2;-1[ telle que f(b)=0

De la même façon sur ]-1;+l'infini[ est est strictement décroissante

donc il existe une unique solution sur ]-1;+l'infini[ telle que f(a)=0

5) On fait un balayage on obtient:

-1.842 < b < -1.841

1.146 < a < 1.147

Partie B

1) Pour que la suite (Un)soit définie il faut que 2+Un>0

soit Un>-2

donc U₀ >-2

2) Si (Un) converge elle converge vers le point d'intersection entre les courbes représentatives des fonctions y=ln(2+x) et y=x

d'où le système suivant:

équation1: y=ln(2+x)

équation2: y=x

donc x=ln(2+x)

0=ln(2+x) - x

D'après la question A4)

Il existe une solution à cette équation qui est a

Donc (Un) converge vers a

5)Dans le cas où U₀=5

On constate que U₁ et U₂ appartiennent à la courbe représentative de y=ln(2+x)

de plus U₁>U₂

on peut conjecturer que (Un) est décroissante et convergente en a quand U₀<a

Dans le cas où U₀=-3/2

On constate que U₁ et U₂ appartiennent aussi à la courbe représentative de y=ln(2+x)

de plus U₁<U₂

on peut conjecturer que (Un) est croissante et convergente en a quand U₀>a

6) on sait que f(Un)= ln(2+x)-Un

or U_n+1 =ln(2+x)

donc f(Un)= U_n+1 - Un

[Boltzmann_Solver]

Bonjour emi,

Je vais commencer avec le premier.

1) La fonction est définie sur [0,+inf[ seulement car pour x négatif, il existe une infinité de valeurs non définie comme les racines paires modulo un nombre dans Z. De plus, on peut dire que f est positif pour tout x > 0 par composition de fonction.

2) lim_{x-->+inf} f(x) = +inf par composition de limite +inf.

lim_{x--->0+} f(x) = lim_{x--->0+} x^x = lim_{x--->0+} exp(xln(x)) = lim_{x--->0+} 1 + x.ln(x) (car la limite de xln(x) tend vers 0, donc on peut prendre son équivalent en posant X = xln(x)) = 1 pour la même raison.

3) lim_{x---> 0+} (f(x)-f(0))/(x-0) = lim_{x--->0+} (x^x-1)/x = lim_{x--->0+} (exp(xln(x))-1)/x = lim_{x--->0+} xln(x)/x = lim_{x--->0+} ln(x) = -inf.

Donc, la fonction n'est pas dérivable en 0.

Interprétation. On a une tangente verticale en 0.

4) Variation :

f'(x) = (exp(xln(x))' = (xln(x))'*exp(xln(x)) = (xln(x))'*x^x = (ln(x) + x*1/x)*x^x = (1+ln(x))*x^x.

Le signe de f' est donné par 1+ln(x) (Cf question 1)). Donc f'(x) => 0 => ln(x) => -1 => ln(x) => 1/e

Donc la fonction est décroissante de 0 à 1/e puis croissante de 1/e à +inf.

5) J'aimerais que tu fasses le graphique :p

[emi94]

pour la question 3 je ne vois pas comment on trouve lim_{x--->0+} (exp(xln(x))-1)/x = lim_{x--->0+} xln(x)/x

et je joins le graphique de la question 5

merci pour cette aide

[Boltzmann_Solver]

pour la question 3 je ne vois pas comment on trouve lim_{x--->0+} (exp(xln(x))-1)/x = lim_{x--->0+} xln(x)/x

et je joins le graphique de la question 5

merci pour cette aide

[emi94]

euh je crois que oui

[Boltzmann_Solver]

euh je crois que oui

[emi94]

oui là j'ai tout compris

[Boltzmann_Solver]

Voici mon devoir maison pour le lundi de la rentré

Je n'arrive pas le premier exercice même la première question

Pour le second exercice je n'arrive pas à répondre aux questions de la partie B 3,7,8 et 9.

Quelqu'un pourrait il m'aider?

Ci-joint mes réponses de l'exercice 2

Partie A

1) quand x tend vers -2:

lim [ln(2+x)]=lim ln(0) = -l'infini et lim (-x)=2

par somme lim f(x)=-l'infini

quand x tend vers +l'infini:

on a ln(2+x)-x = [[(ln(2+x))/x]-1]*x

or lim [(ln(2+x))/x]=0 (théorème des croissances comparées)

donc lim [[(ln(2+x))/x]-1]=-1

et lim x=+l'infini

Par somme lim f(x)=-l'infini

2) f est une fonction composée de fonctions dérivables sur ]-2; +l'infini[

donc f est dérivables sur ]-2; +l'infini[

f'(x)=1/(2+x) -1

On résout f'(x)

donc 0= 1/(2+x) -1

1=1/(2+x)

2+x=1

x=-1

donc f'(x) est positif sur ]-2; +l'infini[

et f'(x) est négatif sur ]-2; +l'infini[

en -1 f'(x) s'annule

3)

x |-2 -1 +l'infini

f'(x)| + 0 -

f(x) |-l'infini croissante 1 décroissante -l'infini

4) on remplace alpha par a et bêta par b

d'après le tableau de variation sur ]-2;-1[ f est strictement croissante de -inf à 1.

Donc, d'après le théorème de la bijection

il existe une unique solution b dans ]-2;-1[ telle que f(b)=0

De la même façon sur ]-1;+l'infini[ est est strictement décroissante de 1 à -inf.

Donc, il existe une unique solution sur ]-1;+l'infini[ telle que f(a)=0

5) On fait un balayage on obtient:

-1.842 < b < -1.841

1.146 < a < 1.147

[emi94]

merci je ferai plus attention la prochaine fois

[Boltzmann_Solver]

Partie B

1) Pour que la suite (Un)soit définie il faut que 2+Un>0

soit Un>-2

donc U₀ >-2

2) Si (Un) converge elle converge vers le point d'intersection entre les courbes représentatives des fonctions y=ln(2+x) et y=x

d'où le système suivant:

équation1: y=ln(2+x)

équation2: y=x

donc x=ln(2+x)

0=ln(2+x) - x

D'après la question A4)

Il existe une solution à cette équation qui est a

Donc (Un) converge vers a

5)Dans le cas où U₀=5

On constate que U₁ et U₂ appartiennent à la courbe représentative de y=ln(2+x)

de plus U₁>U₂

on peut conjecturer que (Un) est décroissante et convergente en a quand U₀<a

Dans le cas où U₀=-3/2

On constate que U₁ et U₂ appartiennent aussi à la courbe représentative de y=ln(2+x)

de plus U₁<U₂

on peut conjecturer que (Un) est croissante et convergente en a quand U₀>a

6) on sait que f(Un)= ln(2+x)-Un

or U_n+1 =ln(2+x)

donc f(Un)= U_n+1 - Un

[emi94]

Pour la question B.7 a)

j'avais penser à une récurrence aussi

malgré mes différents essais je n'arrive pas à le prouver

voila ce que j'ai réussi a faire

On pose P la propriété : Un>a

Initialisation U₀>a donc P(0) est vrai

Hérédité On suppose que P(n) est vrai: Un>a

On veut montrer que P(n+1) est vrai: U_n+1>a

Un>a => 2+Un>a => ln(2+Un)>ln(a) car ln est une fonction strictement croissante

Après ça je ne sais plus quoi faire

[emi94]

pour la question B 7b)

On sait que f(Un)=U_n+1-Un

d'après le tableau de variation de la question A3)

sur ]a;+inf[ f(Un)<0 donc U_n+1-Un<0 et U_n+1<Un

donc Un est strictement décroissante

[emi94]

pour la question B 7b)

On sait que f(Un)=U_n+1-Un

d'après le tableau de variation de la question A3)<br>sur ]a;+inf[ f(Un)&lt;0 donc U_n+1-Un&lt;0 et U_n+1&lt;Un<br>donc Un est strictement décroissante <br>

[emi94]

pour la question B 7b)

On sait que f(Un)=U_n+1-Un

d'après le tableau de variation de la question A3)

sur ]a;+inf[ f(Un)<0 donc U_n+1-Un<0 et U_n+1<Un

donc Un est strictement décroissante

dsl problème technique

[emi94]

7c) On sait que (Un) est décroissante et minorée par a donc (Un) converge en a

[Boltzmann_Solver]

Pour la question B.7 a)

j'avais penser à une récurrence aussi

malgré mes différents essais je n'arrive pas à le prouver

voila ce que j'ai réussi a faire

On pose P la propriété : Un>a

Initialisation U₀>a donc P(0) est vrai

Hérédité On suppose que P(n) est vrai: Un>a

On veut montrer que P(n+1) est vrai: U_n+1>a

Un>a => 2+Un>2+a /uploads/emoticons/default_inferieur.gif">/uploads/emoticons/default_inferieur.gif">/uploads/emoticons/default_inferieur.gif">/uploads/emoticons/default_inferieur.gif">/uploads/emoticons/default_inferieur.gif">http://www.e-bahut.com/uploads/emoticons/default_inferieur.gif' alt='<='>=> ln(2+Un)>ln(a+2) car ln est une fonction strictement croissante

Après ça je ne sais plus quoi faire

Après, on sait que ln(a+2) = a par définition de a et Un+1=ln(2+Un). Donc, Un+1 > a.

Pour tout n de N, si Pn est vraie, alors Pn+1 sera vraie également.

Conclusion, par récurrence, on a montré que pour tout n de N, si U0 > a, alors Un > a.

[Boltzmann_Solver]

pour la question B 7b)

On sait que f(Un)=U_n+1-Un

d'après le tableau de variation de la question A3)

sur ]a;+inf[ f(Un)<0 donc U_n+1-Un<0 et U_n+1<Un

donc Un est strictement décroissante

dsl problème technique

[Boltzmann_Solver]

7c) On sait que (Un) est décroissante et minorée par a donc (Un) converge en a

[Boltzmann_Solver]

7c) On sait que (Un) est décroissante et minorée par a donc (Un) converge en a

[emi94]

D'accord

euh désolé je n'ai pas compris la question

[Boltzmann_Solver]

D'accord

euh désolé je n'ai pas compris la question

[emi94]

8 a)

On pose P la propriété : b<Un<a

Initialisation b<U₀<a donc P(0) est vrai

Hérédité On suppose que P(n) est vrai: b<Un<a

On veut montrer que P(n+1) est vrai: b<U_n+1<a

b<Un<a => b+2<2+Un<2+a => ln(b+2)<ln(2+Un)<ln(a+2) car ln est une fonction strictement croissante

O n sait que ln(a+2) = a et ln(b+2)=b par définition de a , de b et Un+1=ln(2+Un). Donc, b<Un+1< a.

Pour tout n de N, si Pn est vraie, alors Pn+1 sera vraie également.

b)On sait que f(Un)=U_n+1-Un

d'après le tableau de variation de la question A3)

sur ]b;a[ f(Un)>0 donc U_n+1-Un>0 et U_n+1>Un

donc Un est strictement croissante

c) On sait que (Un) est décroissante et minorée par a donc (Un) converge.

Selon la question B2) sa limite est a donc (Un) converge en a

pour la d je ne sais pas

[Boltzmann_Solver]

8 a)

On pose P la propriété : b<Un<a

Initialisation b<U₀<a donc P(0) est vrai

Hérédité On suppose que P(n) est vrai: b<Un<a

On veut montrer que P(n+1) est vrai: b<U_n+1<a

b<Un<a => b+2<2+Un<2+a => ln(b+2)<ln(2+Un)<ln(a+2) car ln est une fonction strictement croissante

O n sait que ln(a+2) = a et ln(b+2)=b par définition de a , de b et Un+1=ln(2+Un). Donc, b<Un+1< a.

Pour tout n de N, si Pn est vraie, alors Pn+1 sera vraie également.

b)On sait que f(Un)=U_n+1-Un

d'après le tableau de variation de la question A3)

sur ]b;a[ f(Un)>0 donc U_n+1-Un>0 et U_n+1>Un

donc Un est strictement croissante

c) On sait que (Un) est décroissante et minorée par a donc (Un) converge.

Selon la question B2) sa limite est a donc (Un) converge en a

pour la d je ne sais pas

[emi94]

oui je me suis trompé en recopiant sur l'ordinateur

par contre pour la d)

on a l'encadrement suivant

si -2<U₀<a alors ln0<Un<a

peut on faire la même récurrence que pour la c)?

[Boltzmann_Solver]

oui je me suis trompé en recopiant sur l'ordinateur

par contre pour la d)

on a l'encadrement suivant

si -2<U₀<a alors ln0<Un<a

peut on faire la même récurrence que pour la c)?