Limites De Suites

[JulesTSD]

Bonjour, j'ai un exercice a faire mais je bloque sur certaine question

la suite (Un) est définie par U0=0 et pour tout entier n par Un+1= Un²+1

1) demontrez que pour tout entier naturel non nul n , Un est un entier strictement positif

alors pour cette question j'ai pensé a dire que Un+1 = Un²+1

donc Un = Un²

Un² est toujours positif donc Un est un entier strictement positif

2) demontrez que la suite (Un) est strictement positif

Suffit-il de dire que Un² est toujours positif ?

3) demontrez que pour tout n 4, Un 2^n

4) que pouvez vous en déduire quant a la convergence de la suite (Un) ?

[elp]

u(0)=0

je crois qu'ensuite c'est u(n+1)=u²(n)+1

u²(n) toujours >=0 donc en ajoutant 1, on obtient un nombre strictement positif

je ne comprends pas la question 2

u(0)=0

u(1)=0²+1=1

u(2)=1²+1=2

u(3)=2²+1=5

u(4)=5²+1=26 c'est bien plus grand que 2^4 (2^4=16)

on peut faire une démo par récurrence

si u(n)>=2^n alors u²(n)(2^n)²

u²(n)+1>=(2^n)²+1>=2^(2n)+1>=2^(n+1)+1 car 2n >=n+1 dès que n=1

je te laisse le soin de rédiger proprement

2^n tend vers l'infini qd n tend vers +00 dc comme u(n) 2^n alors u(n) tend aussi vers +00