Dm De Maths (Terminale S)

[dragnal57]

Bonjour, j'ai un DM de maths à faire j'en ai déja fait une partie que je pense être juste. Cependant je n'arrive pas à répondre à certaine questions. Bon j'ai quand même mis tout les sujets ainsi que mes réponses afin que vous puissiez me corriger si quelque chose est faux ! Mais j'aimerai que vous vous intéressez en particulier à celles auxquelles je n'ai pas répondu !

Exercice 1:

Condition nécessaire et condition suffisante

f est la fonction définie sur [0;+inf[ par f(x)=xVx (V=racine de...).

f est le produit des fonctions u et v définies sur [0;+inf[ par u(x)=x et v(x)=Vx

1)la fonction u est-elle dérivable en 0 ? La fonction v est-elle dérivable en 0 ?

-->Si u est dérivable en 0, cela signifie que lorsque h tend vers 0, le taux de variation de u entre a et a+h tend vers un réel.

calcule du taux de variation : (u(0+h)-u(0))/h...=1...1 étant un réel, u est donc dérivable en 0 et u'(0)=1.

-->pareil pour v avec v'(0)=0

2)On étudie la dérivabilité de f en 0

a) Peut-on appliquer la règle concernant le produit de deux fonctions dérivables en 0 ?

--> J'ai pas compris cette question...fhin je ne voie pas quoi répondre, c'est quoi cette règle o_O ?

b) Etudier la limite de (f(x)-f(0))/x lorsque x tend vers 0.

--> je trouve O+

c)En déduire que f est dérivable en 0 et préciser f'(0).

--> f est dérivable en 0 car son taux de variation en ce point tend vers un réel. Ainsi f'(0)=0

3)Yolanda affirme alors : "Un produit uv peut être dérivable en a bien que v ne soit pas dérivable en a." A-t-elle raison ?

--> bhen oui si a=0.

Exercice 2 :

Dans un repère orthonormal, la droite d'équation y=mx+p coupe la parabole P d'équation y=x² en deux points A et B.

Déterminer le point P de l'arc AOB de la parabole qui rend l'aire du triangle PAB maximale.

--> avec une série de calcule préalablement effectués je trouve une aire du triangle PAB tel que A(x)=(1/2)(a-b)(x-a)(x-b)

avec a=abscisse du point A, b=abscisse du point B et x=abscisse du point P. Ce résultat est juste car le prof nous à dit qu'il fallait trouver ça.

Mon problème est : pour quelle valeur de x, A(x) est-t-elle maximale !

J'ai donc pensé à calculer la dérivé de A(x), A'(x) donc, puis en fonction du signe de A'(x) j'airai le tableau de variation de A(x), et donc des extremum dont un maximun...nan ?

Moi je trouve A'(x) = (1/2)(a-b)(2x-b-a)...et vous ?

Pour son signe par contre, j'ai (1/2)(a-b)>0....mais 2x-b-a est > ou < à 0 ???? Sachant que a<p<b (ces deux derniers signes sont des "inférieur ou égale !!!")

Exercice 3 :

Un cylindre a pour base un disque de rayon 1 dm et contient de l'eau sur une hauteur de 0.5 dm. On plonge dans ce cylindre une bille de diamètre d (en dm). On se propose de calculer le diamètre de la bille pour lequel le niveau de l'eau est tangent à la bille. (celui-là j'ai pas encore regarder donc aucune réponses de ma part ne sont proposées )

1)Démontrer que d vérifie "0<d<2" et "d^(3) - 6d + 3=0".

2)a)Démontrer que l'équation "x^(3) - 6x + 3=0" admet une solution unique dans ]0;2[.

b)Donner un encadrement d'amplitude 10^(-2) de cette solution.

Voila merci de m'aider !! @+

[elp]

u(x)=x est dérivable en 0

v(x)=rac(x) n'est pas dérivable en 0

On ne peut pas appliquer ta règle du produit.

On doit calculer la limite de [f(x+h)-f(x)]/h quand h tend vers 0 avec x=0 (car on cherche une dérivée en 0)

[f(h)-f(0)]/h=[h*rac(h)-0]/h=rac(h)

qd h td vers 0, la quantité précédente td vers 0

conclusion: f est dérivable en 0 et la dérivée est 0

Pour x=0 : u dérivable, v pas dérivable mais uv l'est .

[dragnal57]

u(x)=x est dérivable en 0

v(x)=rac(x) n'est pas dérivable en 0

On ne peut pas appliquer ta règle du produit.

On doit calculer la limite de [f(x+h)-f(x)]/h quand h tend vers 0 avec x=0 (car on cherche une dérivée en 0)

[f(h)-f(0)]/h=[h*rac(h)-0]/h=rac(h)

qd h td vers 0, la quantité précédente td vers 0

conclusion: f est dérivable en 0 et la dérivée est 0

Pour x=0 : u dérivable, v pas dérivable mais uv l'est .

[elp]

v(x)=rac(x)

[v(x+h)-v(x)]/h qd x est égal à 0 est égal à :

[v(h)-v(0)]/h=rac(h)/h=1/rac(h)

si h td vers 0, rac(h) td vers 0 et 1/rac(h) td vers l'infini dc v pas dérivable en 0.

Je vais te répondre pour le 2è exercice

[dragnal57]

v(x)=rac(x)

[v(x+h)-v(x)]/h qd x est égal à 0 est égal à :

[v(h)-v(0)]/h=rac(h)/h=1/rac(h)

si h td vers 0, rac(h) td vers 0 et 1/rac(h) td vers l'infini dc v pas dérivable en 0.

Je vais te répondre pour le 2è exercice

[elp]

A'(x) = (1/2)(a-b)(2x-b-a)...

C'est d'accord

On cherche qd la dérivée devient égale à 0

A'(x)=0 ssi 2x-b-a=0 ssi x=(a+b)/2

Il faut aussi trouver le signe de A'(x)

Est-ce que a>b ou a<b ? (cela pour savoir le signe de a-b)

On peut très bien convenir d'appeler A le point d'intersection qui a l'abscisse la plus grande.

Il faut faire un tableau de variation et tu auras un extremum.

[dragnal57]

A'(x) = (1/2)(a-b)(2x-b-a)...

C'est d'accord

On cherche qd la dérivée devient égale à 0

A'(x)=0 ssi 2x-b-a=0 ssi x=(a+b)/2

Il faut aussi trouver le signe de A'(x)

Est-ce que a>b ou a<b ? (cela pour savoir le signe de a-b)

On peut très bien convenir d'appeler A le point d'intersection qui a l'abscisse la plus grande.

Il faut faire un tableau de variation et tu auras un extremum.

[elp]

Rappel

volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h:

pi*r²*h

volume d'une sphère de rayon r:

(4/3)*pi*r^3

Volume de l'eau ds le cylindre au départ:

pi*1²*0.5=pi/2

volume de la bille de diam d:

(4/3)*pi*(d/2)^3=pi*(d^3)/6

Si la surface de l'eau est tgte à la bille, c'est que le volume de l'eau plus celui de la bille est égal au volume d'un cylindre de rayon 1 et de hauteur d

ce volume vaut pi*1²*d=pi*d

volume de l'eau + volume de la bille:pi* (d^3)/6+pi/2

On a l'égalité:

pi*(d^3)/6+pi/2=pi*d

en simplifiant par pi et en multipliant par 6

d^3+3=6d

d^3-6d+3=0

Il faut aussi d<2 sinon la bille est trop grosse et ne peut rentrer dans le cylindre

On a aussi d>0 car c'est le diam d'une bille.

Je te laisse chercher la fin.

[elp]

pour le 2)

a-b<0 dc

A'(x) = (1/2)(a-b)(2x-b-a)

est du signe contraire à celui de 2x-b-a

Il suffit de faire le tableau des variations et tu vas trouver !

[dragnal57]

merci de votre aide j'vai essayer de faire tut ça...pis je reviendrai...a toute ! (si d'autre personnes veulent répondre oucompléter, ils le peuvent hein )

[dragnal57]

bon pour l'exo 2...j'arrive pas à trouver le tableau de signe de A'(x) en fait =O !! Je voie pas comment faire en fait !!

je sais juste que (1/2)*(a-b) est négatif mais je ne voie vraiment pas comment trouver le signe de (2x-b-a)...

(remarque, logiquement je doit trouver : - 0 +)

logiquement le signe de A'(x) sur [a;b], serait : + 0 -...faut s'imaginer le tableau hein !!...mais je voie pas comment arriver à ça =D !

J'ai essayé un truc : comme (b+a)/2 annule (2x-b-a).

J'ai calculé avec x=b+a donc supérieur a (b+a)2 donc le signe de b+a se trouve a droite de 0...mais je trouve pas le signe de b+a ^^ !

J'ai calculé avec x=-(b+a)/2 donc inférieur a (b+a)/2 donc le signe de -(b+a)/2 se trouve à gauche de 0...mais je trouve pas le signe de -b-a ^^!

---> en gros je tourne en rond ! :'(

[elp]

(1/2)(a-b) <0

2x-a-b>0 >2x>a+b<=>x>(a+b)/2

si x<(a+b)/2 alors 2x-a-b <0 et la dérivée est positive dc A croissante

si x=(a+b)/2 alors a'(x)=0

si x>(a+b)/2 alors 2x-a-b>0 et la dérivée est négative et A décroissante

conclusion:

A atteint un max en x=(a+b)/2 (et on n'a pas besoin de savoir le signe de (a+b)/2)

[dragnal57]

ouaah...je savais que ça allait être un truc simple, j'aurais du y penser quoi --" !! merci bien ! !

[dragnal57]

j'ai calculé le max...mais ca sert a rien en fait --"...j'trouve -[(a-b)/2]^3...fhin si ça sert, ça complète le tableau de variation de A quoi !!

[elp]

j'ai calculé le max...mais ca sert a rien en fait --"...j'trouve -[(a-b)/2]^3...fhin si ça sert, ça complète le tableau de variation de A quoi !!

[dragnal57]

oui oui je sais ! merci =D ! merci encore de votre aide.

ps : vous portez bien votre pseudo elp->help ...bref !

[dragnal57]

Rappel

volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h:

pi*r²*h

volume d'une sphère de rayon r:

(4/3)*pi*r^3

Volume de l'eau ds le cylindre au départ:

pi*1²*0.5=pi/2

volume de la bille de diam d:

(4/3)*pi*(d/2)^3=pi*(d^3)/6

Si la surface de l'eau est tgte à la bille, c'est que le volume de l'eau plus celui de la bille est égal au volume d'un cylindre de rayon 1 et de hauteur d

ce volume vaut pi*1²*d=pi*d

volume de l'eau + volume de la bille:pi* (d^3)/6+pi/2

On a l'égalité:

pi*(d^3)/6+pi/2=pi*d

en simplifiant par pi et en multipliant par 6

d^3+3=6d

d^3-6d+3=0

Il faut aussi d<2 sinon la bille est trop grosse et ne peut rentrer dans le cylindre

On a aussi d>0 car c'est le diam d'une bille.

Je te laisse chercher la fin.

[elp]

Rappel

volume d'un cylindre de rayon r et de hauteur h:

pi*r²*h

volume d'une sphère de rayon r:

(4/3)*pi*r^3

Volume de l'eau ds le cylindre au départ:

pi*1²*0.5=pi/2

volume de la bille de diam d:

(4/3)*pi*(d/2)^3=pi*(d^3)/6

Si la surface de l'eau est tgte à la bille, c'est que le volume de l'eau plus celui de la bille est égal au volume d'un cylindre de rayon 1 et de hauteur d

ce volume vaut pi*1²*d=pi*d

volume de l'eau + volume de la bille:pi* (d^3)/6+pi/2

On a l'égalité:

pi*(d^3)/6+pi/2=pi*d

en simplifiant par pi et en multipliant par 6

d^3+3=6d

d^3-6d+3=0

Il faut aussi d<2 sinon la bille est trop grosse et ne peut rentrer dans le cylindre

On a aussi d>0 car c'est le diam d'une bille.

Je te laisse chercher la fin.

[dragnal57]

[elp]

[dragnal57]

=O...ouah ça à l'aire bien compliqué et bien long aussi =O !! on apprend ça en prépas maths j'pense nan ? (c'est ce que je veux faire l'année prochaine ^^)