Devoir Maison F(X) = X^3 - 3X

[MHD]

J'ai un DM de Maths et je ne sais pas tout faire. Merci de m'aider:

Partie 1 :

On considère la fonction f définie pour tout réel x par : f(x) = x^{3 _} 3x et on appelle C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1 - En affichant la courbe de f à la calculatrice, quelle propriété géométrique semble semble avoir la courbe C ? Démontrer cette propriété. => je n'y suis pas arrivé. PB de calculatrice ?

2 - on se propose d'étudier le sens de variation de f sur [0;+infini[

a - Développer (b - a)(b²+a²+ab) => j'ai trouvé b puissance 3 - a puissance 3

b - Pour tout a et b réels positifs, avec a < b, calculer et simplifier le rapport f(a) - f(b)/b-a => j'ai trouvé b² +ab+a² - 3

c - Etudier le sens de variation de f sur l'intervalle [0;1] puis sur [1;+infini[ => je n'y arrive pas

d - que peut-on déduire de la question 1 quant au sens de variation de f sur ]-infini;0] ? Dresser le tableau de variation de f sur R. => je n'y arrive pas

JE NE SAIS PAS DU TOUT FAIRE LA PARTIE 2

Partie 2 :

1 - m étant un réel, discuter suivant les valeurs de m, graphiquement, le nombre et l'existence des solutions de l'équation f(x) = m => je sais que les solutions graphiques de l'équation x^3 - 3x = m sont les points d'intersection des graphes des fonctions f(x) = x^3 - 3 et de y = m

2 - on considère l'équation x^3 + px + q = 0. On sait que cette équation admet :

- trois solutions dans R lorsque K = 4p^3 + 27q² est négatif ou nul

- 1 solution lorsque ce nombre K est positif

a- calculer le nombre K pour l'équation x -3x+2=0 et en déduire le nombre de solution de ses solutions

b- exprimer le nombre K en fonction de m pour l'équation : x -3x-m=0,et retrouver les résultats de la question 1.

Merci de votre aide

[casidomo]

fn impair (O centre de symétrie ds un repère orthonormé)

montrz que f(-x) = -f(x) pour tout x réel.

[MHD]

fn impair (O centre de symétrie ds un repère orthonormé)

montrz que f(-x) = -f(x) pour tout x réel.

[casidomo]

fn impaire (O centre de symétrie ds un repère orthonormé)

montrz que f(-x) = -f(x) pour tout x réel.

Pour 0 a < b< = 1, alors 0 < = a² + ab + b² < 3b² < = 3

par suite, [f(a) - f(b)]/(a - b) = (a² + ab + b²) - 3 < 3b² - 3 < = 3 - 3 = 0 et donc f est strictement décroissante sur [0 ; 1]

Pour 1 a < b, alors a² + ab + b² > 3a² 3

par suite, [f(a) - f(b)]/(a - b) = (a² + ab + b²) - 3 > = 3a² - 3 0 et donc f est strictement croissante sur [1 ; +inf [

[casidomo]

fn impair (O centre de symétrie ds un repère orthonormé)

montre que f(-x) = -f(x) pour tout x réel.

[casidomo]

Pour 2 d) utilisez la symétrie pour en déduire les variations de f sur ]-inf ; 0 ]

[casidomo]

Partie 2 b)

Vous devez trouvez k = m² - 4 = (m - 2 )(m + 2) ; étudiez son signe

[MHD]

Excusez moi mais j'ai toujours du mal pour la partie 1 question 2d et toute la question 2 de la partie 2 je n'arrive pas à calculer K (a) ni le (b) ?

[casidomo]

1. d) il faut relire votre cours

Soit f est une fonction impaire sur R, décroissante sur [0 ; 1]

par suite elle est croissante sur l'intervalle symétrique [-1 ; 0]

A vous de me donner suivantes :

quel est l'intervalle symétrique de [1 ; + inf[ ?

En déduire la variation de f sur cet intervalle.

Nota : L'observation de la courbe doit vous donner la réponse également.

2 a)p= -3 et q = 2 ; k = 4(-3)³ + 27x2² = 0 ; donc l'équation a 3 solutions.

on peut montrer que x³ - 3x + 2 = (x - 1)²(x + 2) qui s'annule pour les x = 1 (racine double) ou x = -2 (ce n'est pas demandé)

b) x3 - 3x = m équivaut à x³ - 3x - m = 0

p = -3 et q = -m ; k = 4(-3)³ + 27m² = 27 (m² - 4) = 27 (m- 2)(m + 2)

k 0 pour -2 m < = 2 ; et donc dans cet intervalle, l'équation a 3 racines.

pour m en dehors de cet intervalle, c'est à-dire m < -2 ou m > 2, k > 0 et donc l'équation a une solution.

L'expression de k est tirée des formules de Cardan, qui permettent de résoudre les équations de degré 3.

[MHD]

1. d) il faut relire votre cours

Soit f est une fonction impaire sur R, décroissante sur [0 ; 1]

par suite elle est croissante sur l'intervalle symétrique [-1 ; 0]

A vous de me donner suivantes :

quel est l'intervalle symétrique de [1 ; + inf[ ?

En déduire la variation de f sur cet intervalle.

Nota : L'observation de la courbe doit vous donner la réponse également.

2 a)p= -3 et q = 2 ; k = 4(-3)³ + 27x2² = 0 ; donc l'équation a 3 solutions.

on peut montrer que x³ - 3x + 2 = (x - 1)²(x + 2) qui s'annule pour les x = 1 (racine double) ou x = -2 (ce n'est pas demandé)

b) x3 - 3x = m équivaut à x³ - 3x - m = 0

p = -3 et q = -m ; k = 4(-3)³ + 27m² = 27 (m² - 4) = 27 (m- 2)(m + 2)

k 0 pour -2 m < = 2 ; et donc dans cet intervalle, l'équation a 3 racines.

pour m en dehors de cet intervalle, c'est à-dire m < -2 ou m > 2, k > 0 et donc l'équation a une solution.

L'expression de k est tirée des formules de Cardan, qui permettent de résoudre les équations de degré 3.

[MHD]

Je n'arrive pas à joindre mon fichier openoffice. Que dois-je faire ?

[casidomo]

Désolé, mais Je ne sais pas comment joindre une pièce ou un fichier, c'est pour ça que je ne vous ai pas joint la courbe.

[MHD]

Voici le lien sur lequel mon fichier est accessible. Merci de vérifier la correction de ce que j'ai fait http://www.cijoint.fr/cjlink.php?file=cj201001/cijnPNSGHb.odt

[MHD]

Désolé, mais Je ne sais pas comment joindre une pièce ou un fichier, c'est pour ça que je ne vous ai pas joint la courbe.

[MHD]

Désolé, mais Je ne sais pas comment joindre une pièce ou un fichier, c'est pour ça que je ne vous ai pas joint la courbe.

[MHD]

URGENT ! Dites moi si j'ai n'ai pas fait d'erreur et comment formuler les réponses des 2 dernières questions svp, je dois rendre mon devoir. Merci

[Barbidoux]

A corriger......

-----------------------------------

d – On peut déduire de la question 1 dans laquelle on a vu que C est symétrique par rapport à O et f impaire que le sens de variation de f sur ] - ; 0] est identique à celui obtenu sur [0; + [ c'est à dire que f est strictement décroissante sur [0;-1] et strictement croissante sur ] - ; - 1]

Tableau de variation de f :

x.......... - .................-1....................0...............1................

f(x)...........croissante....Max............decrois........Min...crois...............

f(-1) = 2 et f (1) = -2

Partie 2 :

2 - x^3 + px + q = 0 et K = 4p^3 + 27 q^2

a –

Dans x^3 – 3x + 2 = 0, p = -3 et q = 2

Ainsi, K = 4(-3)^3 + 27(2) = - 108 + 108 = 0

Donc l'équation a 3 solutions dont une racine double car K = 0

b -

Dans x^3 – 3x – m = 0, p = -3 et q = -m

Ainsi K = 4(-3)^3 + 27(-m)^2 = 4(-27) + 27m^2 = 27(m^2 – 4) = 27(m-2)(m+2).

K <0 et l'équation a alors 3 solutions

[MHD]

A corriger......

-----------------------------------

d – On peut déduire de la question 1 dans laquelle on a vu que C est symétrique par rapport à O et f impaire que le sens de variation de f sur ] - ; 0] est identique à celui obtenu sur [0; + [ c'est à dire que f est strictement décroissante sur [0;-1] et strictement croissante sur ] - ; - 1]

Tableau de variation de f :

x.......... - .................-1....................0...............1................

f(x)...........croissante....Max............decrois........Min...crois...............

f(-1) = 2 et f (1) = -2

Partie 2 :

2 - x^3 + px + q = 0 et K = 4p^3 + 27 q^2

a –

Dans x^3 – 3x + 2 = 0, p = -3 et q = 2

Ainsi, K = 4(-3)^3 + 27(2) = - 108 + 108 = 0

Donc l'équation a 3 solutions dont une racine double car K = 0

b -

Dans x^3 – 3x – m = 0, p = -3 et q = -m

Ainsi K = 4(-3)^3 + 27(-m)^2 = 4(-27) + 27m^2 = 27(m^2 – 4) = 27(m-2)(m+2).

K <0 et l'équation a alors 3 solutions