Devoir Maison

[ippo]

Bonjour, j'ai du mal avec se devoir maison, pouvez vous m'aider.

Merci

[Barbidoux]

Exercice 1

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p(x)=2*x^4-2*x^3-4*x^2+2*x+2 admet deux racines évidentes x=1 et x=-1 ==>

(x + 1)*(x-1)*(2*x^2-2*x-2)=2*(x+1)*(x-1)*(x^2-x-1)=2*(x-1)*(x+1)*((x-1/2)^2-1-1/4)

=2*(x-1)*(x+1)*((x-1/2)^2-5/4)=2*(x-1)*(x+1)*(x-(1-√5)/2)* (x-(1+√5)/2)

P(x)=0 ==> x=1; x=-1; x= (1-√5)/2 et x=(1+√5)/2

[Barbidoux]

Exercice 2

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P(x)=-3*x^3 + 11 x^2 + 6*x - 8

Une racine évidente x=-1 car P(-1)=3+11-6-8=0

==> P(x)=(x+1)*(-3*x+b*x-8)=-3 x^3+b x^2-3 x^2+b x-8 x-8

en identifiant ==> b=14 et P(x)=(x + 1)*(-3*x^2 + 14*x - 8).

Le polynôme (-3*x^2 + 14*x - 8) admet deux racines x=-2/3 et x=4 et

(-3*x^2 + 14*x - 8) =-3*(x-2/3)*(x-4) et P(x)=-3*(x + 1)*(x-2/3)*(x-4)

..................................(-1)..............2/3...................4.............

-3*(x + 1)........(+)........(0)......(-).................(-)....................(-)

(x-2/3)............(-)..................(-).....(0).......(+)..................(+)

(x-4)..............(-)...................(-)................(-)........(0)......(+)

P(x).............(+)........(0)......(-).....(0)........(+)......(0)......(-)

P(x) >=0 pour x appartenant à ] - ; -1] [2/3; 4]

[Barbidoux]

Exercice 3

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(-2*x+9)/(-x^2-x+6)=a/(-x+2)+b/(x+3)

on remarque que (2-x)*(x+3)=-x^2-x+6 ==> -2*x+9=-a*(x+3)+b*(2-x) => en identifiant a-b=-2 et 3*a+2*b=9 ==> a=1 et b=3

(-2*x+9)/(-x^2-x+6)=1/(-x+2)+3/(x+3)

[Barbidoux]

Exercice 4

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T(x)=16*x-x^3 ==> T(2)=16*2-8=24

P(x)=T(x)-T(2)= -x^3+16*x-24

x=2 est une racine évidente

p(x)=(x-2)*(-x^2+b*x+12)=-x^3+b x^2+2 x^2-2 b x+12 x-24 et b=-2 par identification

P(x)=(x-2)*(-x^2-2*x+12)=-(x-2)*(x^2+2*x-12)=)=-(x-2)*((x+1)^2-13)=-(x-2)*((x+1)^2-13)=-(x-2)*(x+1-√13)*(x+1+√13)

....................................-1-√13...............2................-1+√13................

-(x+1)................(+)....................(+)......(0)....(-).......................(-)

(x+1-√13)..........(-)....................(-)...............(-)............(0).........(+)

(x+1+√13).........(-)........(0)........(+)..............(+)........................(+)

p(x)..................(+).......(0).......(-)........(0)....(+)...........(0)...........(-)

P(x) 0 pour x appartenant à [2; -1+√13]