Exo Sur Les Équa' Diff' Et Expos'

[iceman59300]

Bonjour à tous,

voila j'ai un exercice sur lequel je bloque:

Soit l'équation différentielle (1): y'-2y = xexp(x)

1) Résoudre l'équation différentielle (2): y'-2y=0 où y désigne une fonction dérivable sur R (là j'obtiens f(x)=c*exp(2x) )

2) Soient a et b 2 réels et u la fonction définie sur R par u(x)= (ax+b)*exp(x)

a. Déterminer a et b pour que u soit solution de l'équation (1)

b. Montrer que v est une solution de (2) ssi u+v est solution de (1)

c. En déduire l'ensemble de solution de (1)

3) Déterminer la solution de (1) qui s'annule en 0

Merci d'avance !

[elp]

OK pour y=C*e^(2x)

u(x)=(ax+b)*e^x

u'(x)=a*e^x+(ax+b)*e^x car la dérivée de ax+b est a et celle de e^x ext e^x

u'(x)=(a+ax+b)*e^x

u'(x)-2u(x)=(ax+a+b)*e^x-2(ax+b)*e^x=(ax+a+b-2ax-2b)*e^x=

(-ax+a-b)*e^x et cela doit être égal à x*e^x pour tout x

e^x jamais nul

il faut et il suffit dc que (-ax+a-b)=x

dc a=-1 et a-b=0 et u(x)=(-x-1)*e^x

u sol de ( 1 ) > u'-2u=x*e^x

v sol de (2) > v'-2v=0 >v'-2v+u'-2u=0+x*e^x >(v'+u')-2(u+v)=x*e^x<=> (v+u)'-2(u+v)=x*e^x > u+v sol de (1)

on a bien v sol de (2) ssi u+v sol de (1)

c)

C*e^(2x) sol de (1)

(-x-1)*e^x sol de (2) dc

y=C*e^(2x)-(x+1)e^x est sol de (1)

Si y telle que y'-2y=x*e^x et v=(-x-1)e^x

alors y'-v'-2y+2v=0 car v'-2v=x*e^x

dc y-v =Ce^(2x) et y=v+Ce^(2x)=Ce^(2x)-(x+1)*e^x

Les sol st dc de la forme C*e^(2x)-(x+1)*e^x

si x=0

y=C*1-(0+1)*1=C-1 si y =0 en 0 alors C=1

[iceman59300]

Merci beaucoup !