Dm De Maths: Equation Différentielle

[lily-21]

Bonjour à tous ! Pouvez-vous s'il vous plaît m'aider pour ce devoir-maison ? J'ai commencé mais je bloque pour la suite ! Si vous pouvez m'aider svp !! c'est l'exercice 2 et 3 svp.

1). g(x) = f(x)/x donc f(x) = g(x)*x

on peut donc dériver f'(x) = g'(x)*x +g(x)

(E): xf'(x)-(2x+1)f(x) = 8x²

>x(g'(x))x+g(x)-(2x+1)*g(x)x = 8x²

>g'(x)x²+g(x)x-2g(x)x²-g(x)x = 8x²

>g'(x)-2g(x) = 8

>g'(x) = 2g(x)+8 Donc g est bien solution de l'équation différentielle (E'): y'=2y+8

est-ce-que je dois montrer que f est solution aussi

pour la suite je n'ai pas compris !

merci bcp pour votre aide

[lily-21]

si vous pouviez m'aider je bloque vraiment !

merci pour votre aide

[Boltzmann_Solver]

si vous pouviez m'aider je bloque vraiment !

merci pour votre aide

[Boltzmann_Solver]

Bonjour lily,

Décidément, vous êtes fâchée avec les ED.Mais "un peu" moins que la dernière fois que je vous aie aidé.

On va regarder l'exo 2). On verra après pour le 3).

1) Les calculs sont justes mais ça manque de rédaction. g(x) = f(x)/x. Or, f(x) est continue et dérivable sur I=]0,+inf[ de fait qu'elle est dans une équation différentielle. Or, g(x) = f(x)/x. Donc, comme quotient de fonction continue et dérivable sur I, g(x) est continue et dérivable sur I.

Donc, on peut calculer g'(x) = (f'(x)*x-f(x))/x² => x*f'(x) = x²*g'(x)+f(x) = x²*g'(x)+x*g(x)=> sur I f'(x) = x*g'(x) + g(x). On retrouve bien la même chose.

(E): xf'(x)-(2x+1)f(x) = 8x²

>x(g'(x))x+g(x)-(2x+1)*g(x)x = 8x²

>g'(x)x²+g(x)x-2g(x)x²-g(x)x = 8x²

>g'(x)-2g(x) = 8

>g'(x) = 2g(x)+8 Donc g est bien solution de l'équation différentielle (E'): y'=2y+8

Ca, je suis OK.

2) La solution de (E') sur I est :

Solution sans second membre : y1(x) = A*exp(2x) ou A app à R

Solution particulière 2Y = -8 => Y = -4

Donc la solution de (E) sur I est y(x) = y1(x) + Y = A*exp(2x) - 4.

On sait que sur I f(x) = x*g(x). Donc f(x) = Ax*exp(2x) - 4x. Donc, la solution de (E) sur I est :

f(x) = Ax*exp(2x) - 4x avec A dans R

3) On cherche une solution de (E) passant par A.

Donc f(ln(2)) = 0 = A*ln(2)*exp(2ln(2)) - 4ln(2) = A*ln(2)*4 - 4ln(2) => 4ln(2) = A*4*ln(2) => A=1

Donc, la solution passant par A est : fa(x) = x*exp(2x) - 4x

Voila.

J'espère que cela t'éclairera un peu.

Par contre, j'aimerais que tu essayes l'exo 3. Et je t'aiderais par la suite.

Cordialement.

BS

[lily-21]

Merci beaucoup pour votre aide ! mais je ne comprends pas d'où vient le x dans Ax et -4x "On sait que sur I f(x) = x*g(x). Donc f(x) = Ax*exp(2x) - 4x. Donc, la solution de (E) sur I est :

f(x) = Ax*exp(2x) - 4x avec A dans R". Est-ce-qu'il faut trouver A à la question 2 ou c'est pour la question 3 ?

Exercice 3: on dérive z: z'=-v'/v²= -y'/y² > y'= - z'*y² on remplace cette valeur dans E:

y' = 1/2y-1/20y²

-z'*y² = 1/2y-1/20y²

z' = -1/2+1/20 donc on retrouve bien que z est solution de l'éq. différentielle E1.

2).pour tout x appartenant à R, x--->C.e^(-1/2x)+1/10

voilà, par contre je ne vois pas comment on trouve C

j'espère que c'est juste ce que j'ai fait !!

merci encore pour votre aide !!

[Boltzmann_Solver]

Merci beaucoup pour votre aide ! mais je ne comprends pas d'où vient le x dans Ax et -4x "On sait que sur I f(x) = x*g(x). Donc f(x) = Ax*exp(2x) - 4x. Donc, la solution de (E) sur I est :

f(x) = Ax*exp(2x) - 4x avec A dans R". Est-ce-qu'il faut trouver A à la question 2 ou c'est pour la question 3 ?

[Boltzmann_Solver]

Merci beaucoup pour votre aide ! mais je ne comprends pas d'où vient le x dans Ax et -4x "On sait que sur I f(x) = x*g(x). Donc f(x) = Ax*exp(2x) - 4x. Donc, la solution de (E) sur I est :

f(x) = Ax*exp(2x) - 4x avec A dans R". Est-ce-qu'il faut trouver A à la question 2 ou c'est pour la question 3 ?

Exercice 3: on dérive z: z'=-v'/v²= -y'/y² > y'= - z'*y² on remplace cette valeur dans E:

y' = 1/2y-1/20y²

-z'*y² = 1/2y-1/20y²

z' = -1/2+1/20 donc on retrouve bien que z est solution de l'éq. différentielle E1.

2).pour tout x appartenant à R, x--->C.e^(-1/2x)+1/10

voilà, par contre je ne vois pas comment on trouve C

j'espère que c'est juste ce que j'ai fait !!

merci encore pour votre aide !!

[lily-21]

Bonsoir ! je ne comprends pas trop ce que vous avez fait !

[Boltzmann_Solver]

Merci beaucoup pour votre aide ! mais je ne comprends pas d'où vient le x dans Ax et -4x "On sait que sur I f(x) = x*g(x). Donc f(x) = Ax*exp(2x) - 4x. Donc, la solution de (E) sur I est :

f(x) = Ax*exp(2x) - 4x avec A dans R". Est-ce-qu'il faut trouver A à la question 2 ou c'est pour la question 3 ?

[Boltzmann_Solver]

Pour l'exo 3), j'ai pas répondu à la question.

1) OK sauf la rédaction.

Exercice 3: on dérive z: z'=-v'/v²= -y'/y² > y'= - z'*y² on remplace cette valeur dans E:

y' = 1/2y-1/20y²

-z'*y² = 1/2y-1/20y²

z' = -1/2*z+1/20 donc on retrouve bien que z est solution de l'éq. différentielle E1.

2) On te demande l'ensemble des solutions de (E1) et (E). Donc, tu n'as pas à déterminer la constante.

Comme tu l'as dit z(t) = C.e^(-1/2x)+1/10 est l'ensemble des solutions de (E1) sur I

Ensuite y=1/z. Sur I, il peut y avoir annulation de z. Donc, on ne peut pas calculer 1/z. Donc, il faut prendre la constante en conséquence.

z != 0 => z > 0 => C.e^(-1/2x) > -1/10.

Si C =>0, toujours vrai car on a la somme de termes positifs.

Si C <0, alors il faut calculer.

e^(-1/2x) > 1/(abs©*10) => -x/2 > 1/(abs©*10) => x <2/(abs©*10) = 1/(abs©*5)

Donc, il existera toujours une valeur de x annulant z si C est négatif.

Conclusion, y(x) = 1/z(x) pour C app à R+

Suis-je plus clair ainsi?

BS

[lily-21]

on est obligé d'utiliser le factoriel dans : z != 0 => z > 0 => C.e^(-1/2x) > -1/10.

que siginifie abs dans :

e^(-1/2x) > 1/(abs©*10) => -x/2 > 1/(abs©*10) => x <2/(abs©*10) = 1/(abs©*5)

en fait, la fonction solution de E c'est f(x)= (1\z) x mais alors il ne faut pas de constante ? ( c'est ce que j'ai compris)

je vous remercie beaucoup pour votre aide sur mes exercices !

[Boltzmann_Solver]

on est obligé d'utiliser le factoriel dans : z != 0 => z > 0 => C.e^(-1/2x) > -1/10.

que siginifie abs dans :

e^(-1/2x) > 1/(abs©*10) => -x/2 > 1/(abs©*10) => x <2/(abs©*10) = 1/(abs©*5)

en fait, la fonction solution de E c'est f(x)= (1\z) x mais alors il ne faut pas de constante ? ( c'est ce que j'ai compris)

je vous remercie beaucoup pour votre aide sur mes exercices !

[lily-21]

Je vous remercie beaucoup pour votre aide, bonne soirée !

[Boltzmann_Solver]

Je vous remercie beaucoup pour votre aide, bonne soirée !