Trouver Une Fonction

[JulesTSD]

Bonjour, j'ai un exercice un peu compliqué (type bac) que j'ai du mal a résoudre.

F est une fonction définie et dérivable sur R telle que F(0)=0 et pour tout réel x, F'(x)=1/(1+x²).

On admet que cette fonction existe et on ne cherchera pas à donner une expression de F(x).

C est la courbe représentative de F sans un repère orthonormal.

1) G est la fonction définie sur R par :

G(x)= F(x) + F(-x)

a) justifiez que Gest dérivable sur R et calculez G'(x) pour tout réel de x.

F(x) est dérivable sur R

F(-x) est dérivabme sur R

donc F(x) + F(-x) est dérivable sur R.

G'(x) = 1/(1+x²) + 1/(1-x²)

b) Calculez G(0) et déduisez-en que F(x) est une fonction impair.

F(0) = 0

F(-0)= 0

F(0) + F(-0) = 0

Comment savoir si cela est impair ??

2) H est la fonction définie sur I= ] 0; +inf [ par :

H(x)= F(x) + F(1/x)

a) justifiez que H est dérivable sir I et calculez H'(x) pour tout réel x dans I.

??

b) démontrez que pour tout x dans I, H(x)= 2F(1)

??

c) déduisez-en que la limite de la fonction F en +inf est 2F(1).

??

d) qu'en désuisez-vous pour la courbe C.

??

3) T est la fonction définie sur ] -Pie/2; pie/2 [ par :

T(x)= F(tan x) -x

a) calculez T'(x)

b) calculez F(1)

[casidomo]

montrez que G est la fn nulle sur R, par suite, pour tt x réel, F(x)=-F(-x) et dc F impaire.

(F(-x))'=(-x)' F'(u) où u=-x (dérivée des fn composées) ; (F(-x))'= - 1/(1+(-x)²)= -F'(x)

Voici un début de réponse

[elp]

G(x)=F(x)+F(-x)

G'(x)=F'(x)+F'(x)*(-1) (car la dérivée de f(u(x))=(dér de f/u) * (dér de u/x))

G'(x)=1/(1+x²)-1/(1+(-x)²)=0

dérivée nulle pour tout x

G(x)=constante

F(x)+F(-x)=constante

F(0)+F(-0)=F(0)+F(0)=2*0=0

la constante est 0

G(0)=0 dc G(x)=0 pour tout x

F(x)+F(-x)=0

F(x)=-F(-x) fonction impaire

H(x)=F(x)+F(1/x)

H'(x)=F'(x)+F'(1/x)*(-1/x²) (car la dérivée de 1/x est -1/x²)

H'(x)=1/(1+x²)+(-1/x²)*(1/(1+(1/x)²)=1/(1+x²)-(1/x²)*(x²/1+x²)=0

H(x)=constante

H(1)=F(1)+F(1/1)=2F(1)

conclusion H(x)=2F(1) pour tout x ds ]0,+00[

Avec ces indications, tu peux avancer.

[casidomo]

"pi" et non pas "pie" (l'oiseau qui chante) lol

[elp]

des indications pour la fin

T(x)=F(tan(x))-x

la dérivée de tan(x) est 1+tan²(x)

T'(x)=F'(tan(x))*(1+tan²(x))-1

T'(x)=(1/(1+tan²(x))*(1+tan²(x))-1=1-1=0

T(x)=constante =k

F(tanx)=x+k

si x=0

F(tan(0))=0+k

F(0)=0+k et comme on te dit que F(0)=0 alors k=0 et

F(tan(x))=x

si x=pi/4

tan(pi/4)=1

F(tan(x)=x

F(tan(pi/4))=pi/4

F(1)=pi/4

[casidomo]

qd x tends vers + inf, u=1/x tend vers 0 et dc F(u) tend vers F(0)=0

en + inf, lim F(x)= lim H(x) + lim F(1/x) = 2 F(1) + 0 (Préciser le théorème utilisé éventuellement)

[JulesTSD]

Merci beaucoup

[casidomo]

qd x " tend " et non "tends"