Exercice Congruences

[louxo]

1) Déterminer selon les valeurs de l'entier naturel n les restes de la division euclidienne par 7 de :

- 2^n

- 3^n

2)En déduire les entiers naturels tels que 7 divise 2^n+3^n

merci d'avance pour votre aide.

[Boltzmann_Solver]

1) C'est une simple application de a congrue r mod b ==> a^n congrue r^n mod b.

Donc 2 congrue -5 mod 7 ==> 2^n congrue (-5)^n mod 7

Et 5 congrue -2 mod 7 ==> 5^n congrue (-2)^n mod 7

Conclusion. Le reste pour 5^n est (-2)^n et pour 2^n, c'est (-5)^n.

2)

Soit k app à N*

An = 5^n+2^n = (-2)^n + 7k + 2^n = 7k + (1+(-1)^n)*2^n.

Donc An est divisible par 7 si 1+(-1)^n=0 => 1 = (-1)^(n+1). Donc, An est divisible par 7 pour les n impairs.

[louxo]

Merci beaucoup pour votre aide !! mais ...

... je ne comprend pas beaucoup

1- je ne comprend pas du tout ce que vous avez fait pour la question

2- pour la question 1) il demandes les restes donc jpense que cela doit être un ensemble de nombre non ??

[Boltzmann_Solver]

Ce que j'ai fait, n'est ni fait ni à faire. J'ai mal lu l'énoncé!!! Sinon, je ne vois pas pour le moment.