Equations Différentielles Et Complexes

[marissa10]

Bonjour à tous, je suis bloquée sur un problème et je ne vois pas trop comment le traiter. Le voici :L'espace E est rapporté à un repère orthonormé (O, vecteur i, vecteur j, vecteur k).Soit f l'application qui à un point de coordonnées (x, y, z) associe le point de coordonnées :x' = 1/3 (4x+y+z)y' = 1/3 (x+y+4z)z' = 1/3 (x+4y+z)1) Quels sont les points dont l'image par f est l'origine O ?2) Montrer que l'ensemble des points invariants par f est une droite D1 dont on donnera un vecteur directeur unitaire vecteur w.3) Montrer que l'ensemble des points M dont l'image M' vérifie vecteur (OM') = - vecteur (OM) est une droite D2 dont on donnera un vecteur directeur unitaire vecteur v.4) Vérifier que vecteur v et vecteur w sont orthogonaux, et déterminer un vecteur vecteur u tel que (vecteur u, vecteur v, vecteur w) est directe.5) Soir M appartenant à E de coordonnées (x, y, z) dans le repère (O, vecteur i, vecteur j, vecteur k) et (X, Y, Z) dans le repère (O, vecteur u, vecteur v, vecteur w). Exprimer x, y et z en fonction de X, Y et Z.Déterminer les coordonnées X', Y' et Z' de M' - f(M) en fonction de X, Y et Z.J'ai à peine commencé le 1) croyant avoir compris, mais je trouve un point unique : (0, 0, 0) alors que la question disait les points (au pluriel). Donc dès le départ j'ai faux.Merci d'avance pour votre aide.

[Denis CAMUS]

Bonjour,

Je ne peux pas t'aider sur ce problème,mais un peu d'effort sur la présentation incite plus à répondre.

On a l'impression que ton clavier n'a pas de touche "retour à la ligne".

Sépare bien tes questions et saute des lignes si nécessaire, cela fait moins "bloc".

J'espère que quelqu'un va t'aider.

Denis

[Boltzmann_Solver]

Bonjour marrissa,

Vu que tu es en prépa, je vais t'introduire certaines notions.

Soit un espace vectoriel E dans R^3 et M dans E avec M=(x,y,z)

Soit f, une application qui a

E---->E

M |---> f(M)

1) Tu as tout a fait juste. Démonstration

On cherche le noyau de f. Donc f(M) = 0 (Ou aussi appelé ker(f)).

=>

4x+y+z=0

x+y+4z=0

x+4y+z=0

=>

x+y+z=0 L1 + L2 + L3

x+y+4z=0

x+4y+z=0

=>

x+y+z=0

3z=0 L2-L1

3y=0 L3-L1

=>

x=0

y=0

z=0.

Donc ker(f) =(0,0,0). Ou plus simplement, seul l'origine a pour image l'origine.

2) On cherche les invariants de M par f. Donc Inv(f) => f(M) = M

=>

4x+y+z=3x

x+y+4z=3y

x+4y+z=3z

=>

x+y+x=0

x-2y+4z=0

x+4y-2y = 0

=>

x+y+z=0

x+y+z=0 (L2+L3)/2

x+4y-2y = 0

A ce stade, on a un sous dimensionnement du système à 1 degré de liberté. Donc, la solution sera forcement une droite et vu que f est invariant par l'origine, la droite sera linéaire.

x+y+z=0

x+4y-2y = 0

=>

3y = 3z

3x+6y = 0

=>

y=z

x=-2z

Soit O, le point d'origine.

vect(OM) = (x,y,z) = (-2z,z,z) = z(-2,1,1) (Mais il faut que vect(OM) soit unitaire)

vect(w) = 1/sqrt(2²+1+1)*(-2,1,1) = (-2,1,1)/sqrt(6)

Donc, D1 est décrit par la vecteur (-2,1,1)/sqrt(6) et l'origine du repère O.

3) On cherche les points de E tel que leur images par f soit la symétrie centrale, de centre O. Donc, on cherche f(M) = -M

=>

4x+y+z=-3x

x+y+4z=-3y

x+4y+z=-3z

=>

7x+y+z=0

x+4y+4z=0

x+4y+4z=0 (Même équation, donc gain d'un degré de liberté du système et donc, on a une solution de la forme d'une droite).

=>

7x+y+z=0

x+4y+4z=0

=>

-23x = 0 (L2-4*L1)

z=-y

De la même manière, O appartient à D2, car pour M=O, f(O) = O = -O.

Et un vecteur est donné par vect(OM) = (x,y,z) = y(0,1,-1). Mais il faut que le vecteur soit normalisé.

Donc, vect(v)=(0,1,-1)/sqrt(2).

4) Orthogonalité de v,w.

vect(v).vect(w) = 1/(sqrt(12)*(-2*0 + 1*1 + 1*(-1)) = 0

Donc v et w sont orthogonaux

Soit ^, l"opérateur produit vectoriel.

Vu que v et w, sont orthogonaux,

Pout que le repère soit direct, il faut que : vect(u)^vect(v) = vect(w) => vect(v)^(vect(w) = vect(u)

1/sqrt(12)*(-1*1-1*1,1*0-(-1)*(-2),(-2)*1-0*1) = (-2,-2,-2)/sqrt(12) = (-1,-1,-1)/sqrt(3)

5) Cette question nous demande de faire un changement de B de (0,i,j,k) à (0,u,v,w). Donc, il te suffit d'écrire la matrice de passage du 1er repère dans le second.

Donc en collone, P = (1/sqrt(3)*(-1,-1,-1);1/sqrt(2)*(0,1,-1):1/sqrt(6)(1,-0.5,-0.5))

Avec M'=PM.

Euuh, pour le 5. Attend un peu, il semble que tu n'es pas encore vu les matrices de passage. Je terminerai ce soir.

BS

PS1 : +1 pour Denis.

PS2 : Le titre n'a rien à voir avec l'exo :p. C'est un exo introductif sur l'algèbre linéaire.

Donc, c'estnormal que tu galères au début. C'est un gros morceau en 1ère année (Avec la logique mais c'est mon point de vue perso, qui est celui d'un scientifique et non d'un matheux)

[marissa10]

Désolée Denis, Mais quand j'ai tapé mon énoncé j'ai été régulièrement à la ligne pour chaque alinéa et chaque question je me suis même dis que ça faisait un peu long, je ne comprends vraiment pas ce qu'il s'est passé. Pour ce qui est du titre, c'est simplement celui du DM général qui contient ce problème.

[marissa10]

Je viens de voir que mon dernier message a le même problème que mon énoncé. Tput est d'un bloc alors que j'ai été trois fois à la ligne.

[Boltzmann_Solver]

Désolée Denis, Mais quand j'ai tapé mon énoncé j'ai été régulièrement à la ligne pour chaque alinéa et chaque question je me suis même dis que ça faisait un peu long, je ne comprends vraiment pas ce qu'il s'est passé. Pour ce qui est du titre, c'est simplement celui du DM général qui contient ce problème.

[marissa10]

"Pour le texte, tu utilises quel navigateur et quel OS???"Heu, je ne sais pas BS, je ne suis pas douée en informatique. La seule chase que je sais c'est que les autres fois que j'ai posé des sujets tout marchait bien, je ne comprends pas.Pour l'exercice, je pense que je vais l'étudier ce soir parce que là je suis sur de la physique et comme ça marche je vais la finir avant de perdre le fil.Merci encore pour ton aide. Je te tiendrais au courant.

[Boltzmann_Solver]

"Pour le texte, tu utilises quel navigateur et quel OS???"Heu, je ne sais pas BS, je ne suis pas douée en informatique. La seule chase que je sais c'est que les autres fois que j'ai posé des sujets tout marchait bien, je ne comprends pas.Pour l'exercice, je pense que je vais l'étudier ce soir parce que là je suis sur de la physique et comme ça marche je vais la finir avant de perdre le fil.Merci encore pour ton aide. Je te tiendrais au courant.

[Boltzmann_Solver]

As tu un scanner pour la fin de ton exo. Car je ne suis pas sur de l'énoncé?

[marissa10]

Alors windows et apparement navigateur orange (c'est ce qui est écrit en haut de la fenêtre.

Pour l'exo, je suis dessus et je ne comprends pas. Je bloque dès la fin de la question 2) quand apparait la racine carrée.

[marissa10]

tiens super la mise en page remarche. Ouf !!

Oui j'ai un scanner, tu veux que je te scanne l'exercice? Mais je dois l'envoyer où?

[Boltzmann_Solver]

Alors windows et apparemment navigateur orange (c'est ce qui est écrit en haut de la fenêtre.

Pour l'exo, je suis dessus et je ne comprends pas. Je bloque dès la fin de la question 2) quand apparait la racine carrée.

[Boltzmann_Solver]

tiens super la mise en page remarche. Ouf !!

Oui j'ai un scanner, tu veux que je te scanne l'exercice? Mais je dois l'envoyer où?

[marissa10]

OK donc voilà

[marissa10]

Bon je suis pas sure que c'est comme ça, je vais essayer autrement

[marissa10]

Là cette fois c'est bon.

Que tout le monde m'excuse c'est la première fois que je fais ça. Je ne me tromperais plus la prochaine fois.

[Boltzmann_Solver]

Maintenant, c'est clair. Tu avais fait une erreur de recopie :p

Sinon, revenons là on tu galères.

On te demandes des vecteurs normés. Donc norme (w) = 1. Or pour le moment.

vect(OM) = z(-2,1,1)ou z app à R.

norme(vect(OM)) = abs(z)*sqrt((-2)²+1²+1²) = abs(z)*sqrt(6).

Or on cherche une norme unitaire. Donc abs(z) = 1/sqrt(6) => z = +ou- 1/sqrt(6).

Est-ce plus clair ainsi?

[marissa10]

OK j'ai compris.

Je voulais aussi te demander quand tu mets :

4x+y+z=3x

x+y+4z=3y

x+4y+z=3z<BR style="mso-special-character: line-break">pourquoi on met les x, y et z dans ce sens ? je comprends le premier 3x mais pas les autres

[marissa10]

Désolée BS, je dois arréter. Bonne soirée.

[Boltzmann_Solver]

Désolée BS, je dois arréter. Bonne soirée.

[Boltzmann_Solver]

5) Cette question nous demande de faire un changement de B de (0,i,j,k) à (0,u,v,w). Donc, il te suffit d'écrire la matrice de passage du 1er repère dans le second.

Donc en collone, P = (1/sqrt(3)*(-1,-1,-1);1/sqrt(2)*(0,1,-1):1/sqrt(6)(1,-0.5,-0.5))

On a pout tout M de E, M(B2)=P*M(B1).

Ensuite, il faut exprimer M comme image par f.

Donc, posons A, la matrice représentative de f dans E. Donc M'(B1)=A*M(B1)

Alors en colonne, A = 1/3((4,1,1),(1,1,4),(1,4,1))

Det(A) =1/3(-45-9) = -54/3 = -9*6/3 = -18. Donc A est inversible.

Donc, M(B1) = A^(-1)*M'(B1)

Or, on sait que pour tout M de E, M(B2)=P*M(B1). Donc, on a aussi M'(B2) = PM'(B1)

M'(B2) = PM'(B1) = PAM(B1). Et par propriété des matrices de passage, P est inversible. Donc M(B1) = P^(-1)M(B2).

Conclusion : M'(B2) = P*A*P^(-1)M(B2)

Avec M'(B2) = (X',Y',Z') et M(B2) = (X,Y,Z)

Voilà.

A mon avis, si tu fais cela pour la 1ère fois, donne toi un bon moment pour comprendre et assimiler. Si tu sais bien faire çela. Tu t'assures quasiment d'être dans la 1ère moitié de promo.

Bon courage.

BS

[Boltzmann_Solver]

PS : J'avais fait une erreur sur ma relation de changement de base. (Mea Culpa, ça fait 4 ans que j'en ai pas fait) mais je me souvenais que la formule était P^(-1)AP. Donc, je trouvais bizarre d'avoir le contraire.

5) Cette question nous demande de faire un changement de B de (0,i,j,k) à (0,u,v,w). Donc, il te suffit d'écrire la matrice de passage du 1er repère dans le second.

Donc en colonne, P = (1/sqrt(3)*(-1,-1,-1);1/sqrt(2)*(0,1,-1):1/sqrt(6)(1,-0.5,-0.5))

On a pour tout M de E, M(B1)=P*M(B2). Et par propriété des matrices de passage, P est inversible. Donc M(B2) = P^(-1)M(B1).

Ensuite, il faut exprimer M comme image par f.

Donc, posons A, la matrice représentative de f dans E. Donc M'(B1)=A*M(B1)

Alors en colonne, A = 1/3((4,1,1),(1,1,4),(1,4,1))

Det(A) =1/3(-45-9) = -54/3 = -9*6/3 = -18. Donc A est inversible.

Donc, M(B1) = A^(-1)*M'(B1)

Or, on sait que pour tout M de E, M(B2)=P^(-1)*M(B1). Donc, on a aussi M'(B2) = P^(-1)M'(B1)

M'(B2) = P^(-1)M'(B1) = P^(-1)AM(B1).

Conclusion : M'(B2) = P^(-1)*A*PM(B2)

Avec M'(B2) = (X',Y',Z') et M(B2) = (X,Y,Z)

Voilà.

A mon avis, si tu fais cela pour la 1ère fois, donne toi un bon moment pour comprendre et assimiler. Si tu sais bien faire çela. Tu t'assures quasiment d'être dans la 1ère moitié de promo.

Bon courage.

BS

[marissa10]

Bonjour BS,

Je suis en train d'essayer de comprendre ta correction et jusqu'au 4 tout va bien. Au 3) j'ai trouvé -27x = 0 mais je pense que c'était une erreur de frappe.

J'ai une question pour le 4) : Tu mets

vect(u)^vect(v) = vect(w) => vect(v)^(vect(w) = vect(u)

1/sqrt(12) * (-1*1-1*1,1*0-(-1)*(-2),(-2)*1-0*1) = (-2,-2,-2)/sqrt(12) = (-1,-1,-1)/sqrt(3)

Quant je refais les calculs de vect(v)^(vect(w) je tombe à (2, 2, 2) et pas -2.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour BS,

Je suis en train d'essayer de comprendre ta correction et jusqu'au 4 tout va bien. Au 3) j'ai trouvé -27x = 0 mais je pense que c'était une erreur de frappe.

J'ai une question pour le 4) : Tu mets

vect(u)^vect(v) = vect(w) => vect(v)^(vect(w) = vect(u)

1/sqrt(12) * (-1*1-1*1,1*0-(-1)*(-2),(-2)*1-0*1) = (-2,-2,-2)/sqrt(12) = (-1,-1,-1)/sqrt(3)

Quant je refais les calculs de vect(v)^(vect(w) je tombe à (2, 2, 2) et pas -2.

[Boltzmann_Solver]

Et pour le 5) tu as compris (C'est là qu'il y a le plus de difficultés, je pense)