Dm Spécialité -Congruences-

[louxo]

Pouvez vous m'aider pour mon dm de maths spé svp ??

Énoncé:

EX1

1) Déterminer tous les restes possibles, dans la division euclidienne par 10 des carré n² lorsque n est un entier naturel

2) Déterminer le plus petit entier n₀ tel que : n n₀ ---> n! est congru a 0 modulo 10

3) On pose S_n = 1! +2!+3!+ ...+ (n-1)!+n!

Déterminer l'ensemble des entiers naturels non nuls tels que S_n soit un carré parfait ( c'est à dire S_n = a² avec a entier )

EX2

n apparient aux entiers naturel

1) Démontrer que "n n'est pas un multiple de 5" est équivalent à "n^4-1 est multiple de 5"

2) vérifier que :

- 3 et 3^5 ont le même chiffre des unités

- 7² et 7^6 ont le même chiffre des unités

- 2^8 et 2^12 ont le même chiffre des unités

- 4^3 et 4^7 ont le même chiffre des unités

3) Soient a et b deux entiers naturels

traduire en termes de congruence la propriété "a et b ont le même chiffre des unités"

4) soit p un entier naturel non nul

démontrer que n^(p+4) et n^p ont le même chiffre des unités

Merci de m'aider car cela fait plusieurs jours que je le cherche mais je ne trouve toujours rien .

[elp]

EX 1

1)

n entier naturel

n se termine par 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 dc est congru à 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 modulo 10

n² est dc congru à 0,1,4,9,6,5,6,9,4,1 modulo 10 dc un carré d'entier se termeine par 0,1,4,5,6, ou 9.

2) n!=1*2*3*4*5*6*....n

si n<=4 alors n!=1 ou 2 ou6 ou 24

si n=5, n!=120 dc divisible par 10 (congru à 0 modulo 10)

ensuite si n>5 alors n!=1*2*3*4*5*......n=120*...n dc congru à 0 modulo 10

Dès que n>=5 alors n! se termine par au moins un zéro

3) je mets @ pour le signe congru

1! @ 1 (10) c'est un carré

2! @2 (10)

3! @6 (10)

4! @4 (10)

5! @0 (10)

ensuite tous les n! sont @ 0 (10) d'après la question 2

donc pour n>=5

la somme 1!+2!+3!+4!+5!+6!+....n! @ 1+2+6+4+0+...0 dc @ 13 (10) dc @ 3 (10)

Cela veut dire que la somme (qui est un entier) se termine par un 3 or (d'après la question 1) aucun carré d'entier ne se termine par un 3

donc il n'existe pas de solution pour n>=5

pour n <5:

s1=1! est un carré

s2=1!+2!=3 non carré

s3=1!+2!+3!=1+2+6=9 c'est un carré

s4 se termine par 3 dc non carré

n=1 ou n=3

je t'envoie le 2è bientôt

[elp]

EX 2

1)

n^4-1=(n²)²-1²=(n²+1)(n²-1)=(n²+1)(n+1)(n-1)

n non multiple de 5 équivaut à n congru à 1,2,3 ou 4 modulo5

n @ 1 (5) => n-1 @ 1-1=0 (5) dc n^4-1 divisible par 5

n @ 2 (5) => n² @ 4 => n²+1 @ 5 (5) dc n^4-1 divisible par 5

n @ 3 (5) => n² @ 9 =>n²+1 à10 (5) dc divisible par 5 et n^4-1 divisible par 5

n @4 (5) =>n+1 @5 dc n^4-1 divisible par 5

conclusion 1

n non divisible par 5 => n^4 -1 div par 5

si n @0 (5) alors n^4 @0 et n^4 -1 @-1 (5) dc non divisible par 5

si n^4-1 div par 5, n ne peut pas être div par 5 car s'il l'était on vient de montrer que n^4-1 @ -1 (5)

on a dc bien l'équivalence demandée

2)

on calcule les différences

3^5-3=3(3^4-1)=3*(3²+1)(3²-1)=3*10*8 se termine par 0 dc 3^5 @ 3 (10)

pareil pour la suite

3)

a et b ont le même chiffre des unités > leur différence se termine par un 0 > a-b @ 0 (10)

4)

n^(p+4)-n^p=(n^p)*(n^4-1)

si n multiple de 5, alors n^p multiple de 5 et la quantité n^(p+4)-n^p est multiple de 5

si n non multiple de 5 alors n^4-1 est multiple de 5 (voir question 1) et la quantité n^(p+4)-n^p est divisible par 5

si n est pair n^p est pair et la quantité est paire

si n est impair, n^4 est impair, n^4 -1 est dc paire et la quantité est paire

ds tous les cas n^(p+4)-n^p est divisible par 5 et par 2 dc est divisible par 10 dc : n^(p+4) et n^p se terminent par un même chiffre

[louxo]

merci beaucoup

mais : - à la question 2 de l'exercice 2 on a :

3^5-3=3(3^4-1) je pense qu'il y a un lien avec la question 1) avec n^4-1 mais je ne sais pas lequel ???

- à la question 4) de l'exercice 2 je ne comprend pas du tout comment vous faite

[elp]

2) 2

j'ai pensé comme toi mais je ne vois pas comment me servir de ce qui précède alors autant faire le calcul

question 4

n^(p+4)-n^p=(n^p)*(n^4-1)

on a vu avant quand n^4-1 est divisible par 5

si n divisible par 5 alors n^p l'est

si n n'est pas divisible par 5 alors c'est n^4-1 qui l'est

ds tous les cas le produit est dc divisible par 5

pour qu'il soit divisible par 10, il faut qu'en plus d'être divisible par 5, il le soit par 2

si n est pair, alors n^p est pair

si n est impair, n^4 est impair et n^4-1 est pair

ds les 2 cas le produit est divisible par 2

dc toujours divisible par 10

[louxo]

ok

je vous dit un grand merci car sa ma vraiment aidé

bonne continuation a bientôt;)