Dérivabilité

[JulesTSD]

Bonsoir j'ia un exercice a faire quej'ai commencer mais a certain point je me pose des questions alors tout d'abbord

la fonction f est définie sur R par f(0)=0 et pour tout réel x non nul, f(x)= x²cos1/x

1) f est-elle dérivable en 0 ?

Selon moi j'ai appliqué la définition de la dérivation c'est-à-dire lim f(x) - f(a) / x- a = 0 donc f est dérivable en 0

x tend vers a

2) Calculez f '(x) pour x non nul.

j'ai commencé par dire qu'il fallait appliqué (uv)'= u'v + uv'

sachant que u= x² u'= 2x

v = cos1/x v'= -sin 1/x

f '(x) = (2x cos1/x) + (-sin x² )

et cet endroit je ne sais plus quoi faire

aidez- moi svp

Merci

[Boltzmann_Solver]

Bonsoir,

S'il te plait. Soit plus précis quand tu écris sur le forum. Là, je vais te corriger se que j'ai compris de tes explications. Par exemple cos1/x, c'est cos(1)/x ou cos(1/x).

1) L'idée est là mais non exploité et incomplète. Pour assurer la continiuté de f' en zéro. Tu dois soit :

*Calcul de la limite en O+ et O- de la définition de la dérivée (Ce que sous entend ton sujet)

*Calcul de la limite en O+ et O- de f' définie sur R*

On prend la première :

lim_{x-->0+} (x^2cos(1/x) - f(0))/(x-0)= lim_{x-->0+} x*cos(1/x)

lim_{x-->0-} (x^2cos(1/x) - f(0))/(x-0)= lim_{x-->0-} x*cos(1/x)

Donc, par encadrement du cosinus.

Pour tout x dans R*, -x<x*cos(1/x)<x. Par application tu théorème des gendarmes. La dérivée de f vaut 0 en 0+ et 0-. En conclusion, on a continuité de la dérivée.

2) Ton v' est faux. v(x) = cos(1/x)? Alors, par définition de la dérivée d'une composée. v'(x) = (1/x)'*cos'(1/x) = (-1/x^2)*(-sin(1/x)) = sin(1/x)/x^2.

Donc f'(x) = 2x*cos(1/x) + x^2*sin(1/x)/x^2 = sin(1/x) + 2x*cos(1/x).

A la vue de la forme de la dérivée. On aurait pas pu utiliser la seconde méthode facilement.

Voilou.

Bonne soirée.