Congruence

[Jeand]

bonjour, une petite question si j'ai 10^k congurs 1(11) esque je peux écrire ça comme 10^k=11q+1? Merci

[Jeand]

efait dans ma question je bloque pour montrer que si k est pair alors 10^k congrus à 1 mod 11 j'ai fais

k=2n donc 10=1(11)> 10^K=1^k(11)>10^2n=1^2n(11)>10^2n=1(11) car pour tout nCN, 1^2n=1; cela me parait logique mais bon

et je dois faire pareil sauf que cette fois ci k est imapair donc k=2n+1 pour dire que 10^k=-1(11)

j'ai fais exactement le même raisonnement, or a la fin 1^(2n+1)=1^2n*1 donc 1 et pas -1 la je bloque

merci

[Boltzmann_Solver]

bonjour, une petite question si j'ai 10^k congurs 1(11) esque je peux écrire ça comme 10^k=11q+1? Merci

[Jeand]

esque j'ai bon? aidez moi pour la deuxieme merci

[Boltzmann_Solver]

esque j'ai bon? aidez moi pour la deuxieme merci

[Boltzmann_Solver]

Bon, je vais être sympa et le corriger...

1er méthode sans les congruences :

Soit k=2n avec n\in\N*, 10^k = 10^(2n) = 100^n.

D'après la série géométrique avec p\in\N, somme_{i=0}^p 100^i = (1-100^{p+1})/(1-100)

Donc, pour q=p+1, soit pour q\in\N*, 100^q - 1 = (100-1)*\somme_{i=0}^{q-1} 100^i=9*11*\somme_{i=0}^{q-1} 100^i

Vu que \somme_{i=0}^{q-1} 100^i est forcement un entier, on peut écrire que :

100^n = 10^(2n) congues 1(9)

100^n = 10^(2n) congues 1(11) CQFD

100^n = 10^(2n) congues 1(\somme_{i=0}^{q-1} 100^i)

Avec les congruences,

Soit k=2n avec n\in\N*, 10^k = 10^(2n) = 100^n.

100 = 99 + 1 = 11*9 + 1. Donc 100 congrue 1(11). Et par définition de la conguence pout n\in\N, 100^n congrue 1^n(11) =>100^n congrue 1(11). CQFD

[Jeand]

et bien merci donc apres on me demande de montrer que N=rn*10^n+rn-1*10^(n-1)+...+r1*10+r0 et r0-r1+r2-r3-r4+... ont le mm reste avec la division par 11

et la je bloque complètement,

merci de préférence avec les congruences

[Jeand]

personne a des pistes au moins? merci

[Jeand]

j'ai fais un truc brouillon mais bon dites moi

comme 10^2n est congru à 1(11) et 10^2n+1 est congru à -1(11) les puissances de 10 pairs sont congrues à 1 et celles impairs à -1 donc on a an+an-1+...+a1+a0 (11) (on renplace 10 par 1 puis on fait la même chose avec -1donc on a an*(-1)^n+...+a2-a1+a0 donc a0-a1+a2-a3-a4+... donc (a0+a2+...)-(a1+a3+...) et par conséquent ils ont le m^me reste (mais je ne sais pas pourquoi )

est bon alors ou pas merci

[Boltzmann_Solver]

j'ai fais un truc brouillon mais bon dites moi

comme 10^2n est congru à 1(11) et 10^2n+1 est congru à -1(11) les puissances de 10 pairs sont congrues à 1 et celles impairs à -1 donc on a an+an-1+...+a1+a0 (11) (on renplace 10 par 1 puis on fait la même chose avec -1donc on a an*(-1)^n+...+a2-a1+a0 donc a0-a1+a2-a3-a4+... donc (a0+a2+...)-(a1+a3+...) et par conséquent ils ont le m^me reste (mais je ne sais pas pourquoi )

est bon alors ou pas merci

[Jeand]

pouvez vous utiliser les congruences et pas les trucs géométrique sil vous plait car c'est pas trop mon truc ça enfaite merci

[Boltzmann_Solver]

pouvez vous utiliser les congruences et pas les trucs géométrique sil vous plait car c'est pas trop mon truc ça enfaite merci