[Niveau 3Eme] Exercice De Géométrie

[Lisou]

Bonjour !

J'ai un dm à faire et j'ai fait tous les exercices sauf que je bloque sur le 3) de cet exercice:

On considère un trapèze isocèle ABCD dont la petite base [AB] mesure la moitié de la grande base [CD] et dont la hauteur mesure 9 cm.

On pose AB = x cm.

On nomme I le point d’intersection des droites (AC) et (BD). On nomme J le quatrième sommet du parallélogramme AIBJ. On appelle (d) la

médiatrice du segment [CD].

1) Construire la figure à la règle graduée et au compas en prenant x = 4 cm.

On laissera apparents les traits de construction.

2) On se place dans le cas général où AB = x cm.

a) Montrer que A et B sont symétriques par rapport à (d).

b) En déduire que I est un point de (d) puis que le quadrilatère AIBJ est un losange.

c) Soit H le milieu de [AB] et P le milieu de [DC], démontrer que IP = 2 IH.

3) Déterminer la valeur de x pour avoir AIBJ carré. Dans ce cas, calculer le rapport des aires de AIBJ et ABCD.

Pourriez-vous m'aider ?

D'avance merci

[Boltzmann_Solver]

3)

Soit K, le projeté orthogonale de B sur [CD].

Dans le triangle rectangle DBK, on applique le Th de Pythagore :

DB² = DK²+KB²

(DI + IB)² = DK² + KB²

D'après le Th de Thalès; (AB/2)/(CD/2) = BI/ID => x/(2x) = BI/ID => ID = 2*BI (T'as fait la même chose pour 2)c))

Donc 9BI² = (3x/2)² + 9²

Maintenant, on veut que le losange devienne un carré donc, il faut que l'angle angle(BIH) = 45°.

Dans le triangle rectangle BIH, on définit le sinus de angle(BIH) comme : sin(BIH) = x/(2BI) = sqrt(2)/2 (Si tu ne connais pas la valeur, calcules là à la calculatrice). Donc, on peut exprimer BI en fonction de x dans ce cas de figure. BI = x/sqrt(2).

Donc 9x²/2 = 9x²/4 + 9² => 9x²/4 = 9² => x²=9*4 => x=sqrt(36) = x=6cm. (Inutile de considéré x=-6cm)

Voila. (A vérifier en cas d'erreur de calcul...)

[Lisou]

Merci beaucoup de ton aide