Dm Sur Les Complexes

[kilroy]

Bonjour j'ai besoin d'aide pour un exercice.

Soit K le point d' affixe 2i.

A tout point M d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'=iz

1)a)Exprimer x' et y' en foncion de x et y. ( j'ai fait z'=iz donc x'+iy'=i(x+iy) mais je n'arrive pas a dévelloper)

b)Donner les coordonnées des vecteurs KM et KM'.

c)Déterminer l'ensemble Edes points M tels que M,K et M4 soient alignés en traduisant analytiquement la colinéarité des vecteurs KM et KM'.

2) Soit J le point d'affixe 2

a)Verifier que si M=J ou si M=K, alors les points M, K et M' sont alignés.

b)On suppose M différent J et M différent K

Vérifier que arg((iz-2i)/(z-2i))=pi/2+arg((z-2)/(z-2i)) (2pi)

En déduire que M,K,M' sont alignés si et seulement si: (KM;JM)=pi/2

c)retrouver l'ensemble E.

merci

[elp]

1)

si M(x;y) alors z=x+iy et iz=ix+i²y=-y+ix et M'(-y;x)

KM(x,y-2) KM'(-y;x-2)

KM et KM' colinéaires > x(x-2)=-y(y-2)

x²-2x=-y²+2y

x²-2x+y²-2y=0

x²-2x+1+y²-2y+1-1-1=0

(x-1)²+ (y-1)²-2=0

équation du cercle de centre C(1;1) de rayon rac(2)

　

2)a)

si M(z)=J(2) alors M'(i*2) est confondu avec K dc M,K,M' alignés

si M=K alors K,M,M' sont alignés (2 points sont toujours alignés)

arg([iz-2i)/(z-2i)]=arg[i(z-2)/(z-2i)]=arg(i)+arg[(z-2)/(z-2i) ]=pi/2+arg[z-2)/(z-2i)] (2 pi)

iz-2i est l'affixe du vecteur KM'

z-2i est celle de KM

arg([iz-2i)/(z-2i)] est l'angle des vecteurs KM,KM'

z-2 est l'affixe de JM

z-2i est celle de KM

arg[z-2)/(z-2i)] est l'angle des vecteurs KM,JM

K,M,M' alignés ssi KM,KM'=0 ou pi (2pi)

on a donc pi/2+arg[z-2)/(z-2i)]=pi/2+KM,JM=0 ou pi (2pi)

KM,JM=-pi/2 ou pi/2 (2pi)

lieu de M= cercle de diamètre [JK°

K(2;0) J(0,2)

le milieu de [JK] a bien pour coord (1,1)

JK(2,-2)

JK²=2²+2²=8

JK=rac(8)=2rac(2)

le rayon JK/2=rac(2)

on retrouve le résultat du 1)