Dm De Spé Math Terminal S

[Gossip-Girl69]

Bonjour =)

J'aurais besoin d'aide pour 2 exos de math:

Exercice n1:

a) Vérifier que pour tous réels x et a :

x^n-a^n= (x-a)(x^(n-1)+x^(n-2)a+....+x(a^(n-2))+a^(n-1)

b) En déduire que 19^n-12^n est divisible par 7

Ma réponse (que je pense fausse --' ):

a) j'ai commencé par dire que (x^(n-1)+x^(n-2)a+....+x(a^(n-2))+a^(n-1) est une somme de termes consécutifs d'une suite géométrique et que c'est donc égale a:

a*((1-x^n)/(1-x)) (je ne suis absolument pas sure de cette formule

b) donc 19^n-12^n= 12*((1-19^n)/(1-19))= ? je n'ai pas trouvé la réponse...

Exercice n2:

Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n>=1 , le nombre 2^(2n)+6n-1 est divisible par 9

Ma réponse : Soit la suite Un=2^(2n)+6n-1 . Pour n=1 on a U1=2²+6-1=9 Donc Un vraie pour n=1.

On suppose que Un vraie pour n+1 il faut démontrer que Un+1 est divible par 9.

Et la je bloque... u_u

[Boltzmann_Solver]

Commençons par l'exo n°1 et si tu as compris, on fera la suite!!!

a) Démontrons que a^n - b^n = (a-b)*somme_{i=0}^{n-1} a^i*b^{n-1-i}

(x-a)*somme_{i=0}^{n-1} a^i*b^{n-1-i} = somme_{i=0}^{n-1} a^{i+1}*b^{n-1-i} - somme_{i=0}^{n-1} a^i*b^{n-i}

On fait le changement de variable dans la 1ere somme j=i+1

somme_{i=0}^{n-1} a^{i+1}*b^{n-1-i} - somme_{i=0}^{n-1} a^i*b^{n-i} = somme_{j=1}^{n} a^{i}*b^{n-1-(j-1)} - somme_{i=0}^{n-1} a^i*b^{n-i} = somme_{j=1}^{n} a^{i}*b^{n-j} - somme_{i=0}^{n-1} a^i*b^{n-i}

somme_{j=1}^{n} a^{i}*b^{n-j} - somme_{i=0}^{n-1} a^i*b^{n-i} = a^n + somme_{j=1}^{n-1} a^i*b^{n-i} - a^i*b^{n-i} - b^n = a^n - b^n.

En prenant a=x et b=a, on obtient la formule demandée. Donc CQFD.

b) On applique la formule.

19^n - 12^n = (19-12)*somme_{i=0}^{n-1} 19^i*12^{n-1-i}= (7)*somme_{i=0}^{n-1} 19^i*12^{n-1-i}.

Or la somme est un entier par produit et puissance de nombres entiers. Conclusion. 19^n-12^n est bien divisible par 7 par définition.

PS : Etant donné la difficulté d'écrire les somme sur forum, j'ai pu laisser une erreur. Soit critique!!!

[Boltzmann_Solver]

Bon aller, vu qu'il y a pas trop de monde. T'as le deuxième en bonux....

Tu ne maitrises pas l'hérédité. Je vais le rédiger en espérant que tu comprennes.

Soit la propriété Pn : quelque soit n app à N*, le nombre 2^(2n) + 6n - 1 est divisable par 9.

Initialisation : n=1

2^2 + 6 -1 = 4 + 6 - 1 = 9.

9 est divisible par 9, donc la propriété Pn est vérifié pour n=1

Hérédité : Supposons que la propriété Pn soit vérifié au rang n. A t-on conservation de la propriété au rang n+1

Pn => qu'il existe q app à N*(Fonction croissante de R+ dans R+ évidente par croissance comparé + terme en P1) tel que 2^2 + 6 -1 = 9q.

----==> 4*2^2 + 4*6n -1*4 = 9*4q

----==> 2^(2(n+1)) + 24n = 36q + 4

----==> 2^(2(n+1)) + 6n = 36q - 18n + 4

----==> 2^(2(n+1)) + 6n + 6 - 1 = 36q - 18n + 4 + 6 - 1

----==> 2^(2(n+1)) + 6(n+1) - 1 = 36q - 18n + 9

----==> 2^(2(n+1)) + 6(n+1) - 1 = 9(4q-2n+1)

Or q et n sont des entiers. Donc si la propriété est vraie au rang n, elle le sera au rang n+1.

Conclusion : Par récurrence, on a démontré que Pn est divisible par 9 pour tout n app à N*

[Gossip-Girl69]

Coupure d'internet... (vive la freebox !) Je viens juste de voir tes résultats =)

Merci beaucoup pour ton aide! ^^

J'arrive toujours à faire les trucs les plus simples mais jamais les plus durs, étrange non ?

Sur ce passe une bonne soirée =)

[Boltzmann_Solver]

Coupure d'internet... (vive la freebox !) Je viens juste de voir tes résultats =)

Merci beaucoup pour ton aide! ^^

J'arrive toujours à faire les trucs les plus simples mais jamais les plus durs, étrange non ?

Sur ce passe une bonne soirée =)