Aide Dm

[Allezlelosc_59]

Bonjour,

Je viens solliciter votre aide concernant mon DM de Maths que je travaille depuis vendredi soir, où j'ai pas mal avancé mais où je reste bloqué dans pas mal de choses (niveau TS Spé Maths)

EX1

Application de f dans les complexes : f(z) = z exposant 4 + 4iz² + 12 (1+i)z - 45

1. a. Montrer que f(z) = 0 admet une solution réelle unique d et une solution unique imaginaire pure a, à déterminer.

-> d=-3 et a = 3

b. Montrer qu'il existe un couple (p,q) de complexes que l'on déterminera pour que f(z) = (z-d)(z-a)(z²+pz+q)

-> Je remplace donc d et a par les valeurs juste au dessus. J'essaie de faire la division pour trouver p et q mais je reste bloqué. Comment effectuer ?

Puis déduire les solutions -> besoin de savoir les valeurs de p et q

2. Soit A d'affixe 3i, B 1 - 2i, C 2 - i et D -3.

a. Montrer qu'il existe une rotation r transformant A en B et C en D, en précisant son centre et le cosinus et le sinus de son angle.

b. Montrer qu'il existe une homothétie h transformant A en B et D en C, précisant son centre et son rapport.

Puis dire la nature géométrique de r rond h en déterminant ses élements caractéristiques.

-> N'ayant jamais fait de rapport entre complexes et géométrie, je ne sais comment effectuer ?

EX2

1. Résoudre l'équation z exposant 5 = -i

On précisera le module et l'argument des racines.

-> Je calcule le module de -i, égal à 1 et je trouve l'argument de - i égal à -pi/2

Néanmoins, comment trouver ensuite le module et l'argument de z ?

2. Calculer la somme des racines et interprétation géométrique avec introduction de l'isobarycentre de leurs images.

-> Comment effectuer ?

3. Résoudre l'équation 1 + iz - z² - iz exposant 3 + z exposant 4 = 0

-> Comment effectuer ?

EX3

Pour tout l'exercice, le 0 est simplement un indice de z, à ne pas tenir compte dans les calculs

z0 = cos 2 pi/5 + i sin 2 pi/5

1. Soit alpha = z0 + z0 exposant 4 et béta = z²0 + z0 exposant 3

a) Montrer que 1 + z0 + z²0 + z0 exposant 3 + z0 exposant 4 = 0 et en déduire que alpha et béta solutions de l'équation

-> z0 exposant 5 = 1 -> z0 exposant 5 - 1 = 0 -> (z0 - 1)(z0 exposant 4 + z0 exposant 3 + z0 exposant 2 + z0 + 1)

Donc les deux facteurs sont égaux à zéro.

Puis alpha + béta = -1 et alpha * béta = -1 donc alpha et béta solutions

Puis, je ne sais comment procéder pour le reste de l'exercice :

b) Déterminer alpha en fonction de cos 2 pi/5

c) Résoudre l'équation et en déduire la valeur de cos 2pi/5

2) A0 d'affixe 1, A1 d'affixe z0, A2 d'affixe z²0, A3 d'affixe z0 exposant 3, A4 d'affixe z0 exposant 4 dans le plan affine rapporté au repère orthonormé ( O , vec u, vec v)

a) H pt d'intersection de la droite (A1A4) avec l'axe (O, vec u). Montrer que produit scalaire de Oh = cos 2pi/5

b) C cercle de centre oméga d'affixe (-1/2) passant par B d'affixe (i). C coupe l'axe (O, vec u) en M et N. Montrer que prod scalaire de OM = alpha, prod scalaire de ON = béta et que H milieu de [OM]

c) Enfin, déduire la construction d'un pentagone régulier dont on connait le centre 0 et un sommet A0.

Voilà, je trouve tout ça vraiment très compliqué, j'espère que vous pourrez me porter une petite aide dans tout ça.

Merci et bonne après-midi

[Allezlelosc_59]

Les exercices seraient-ils trop compliqués ?

Merci d'avance

[elp]

la racine réelle est -3 et la racine imaginaire est +3i

(z+3)(z-3i)(z²+pz+q)=z^4+4iz²+12(1+i)z-45

[z²+(3-3i)z-9i][z²+pz+q]=z^4+z^3[3-3i+p]+z²[q+p(3-3i)-9i]+z[q(3-3i)-9ip]-9iq=z^4+4iz²+12(1+i)z-45

l'égalité devant être vraie pour tout z, on identifie

[3-3i+p]=0

[q+p(3-3i)-9i]=4i

[q(3-3i)-9ip]=12(1+i)

-9iq=-45

on se sert de la 1ère et de la dernière égalité pour trouver p et q

q=-5i et p=3i-3

on remplace p et q ds les 2 autres égalités pour vérifier que c'est bon (et ça l'est !)

difficile de faire la 2) si tu n'as pas vu le cours "complexes-géométrie" !