sonia22 Posté(e) le 10 octobre 2009 Signaler Posté(e) le 10 octobre 2009 bonjour j'ai un exercice auquelle je ne comprend vraiment rien quelqu'un pourrait m'aider? merci d'avance 1) On désigne par g la fonction numérique définie sur [0;PI] par: g(x)= cos x x - sin x Étudier g et dresser son tableau de variation. En déduire le signe de g(x) sur [0;PI] 2) Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0; Pi] par: - x=0 f(0)=1 - x appartient à ]0;PI] f(x)=sin x / x Étudier les variations de f sur ]0; PI] 3) Etude de f en 0 a) Prouver que, pour tout nombre réel x plus grand ou égale à 0 0 plus petit ou égale à (x - sin x ) plus petit ou égale à (x^3/6) ( pour cela, on introduira la fonction Q définie sur [0; + infinie[ par: Q(x)=sin x - x + (x^3/6) on calculera les dérivées Q' ; Q'' ; Q''' et on en déduira le signe de Q.) b) Prouver que f est dérivable au point 0 et calculer f'(0). 4) construire la courbe représentative © de la fonction f dans un repère orthonormé ( 0; i;j) ( on prendra 3cm pour unité.)
E-Bahut elp Posté(e) le 10 octobre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 10 octobre 2009 bonjour j'ai un exercice auquelle je ne comprend vraiment rien quelqu'un pourrait m'aider? merci d'avance 1) On désigne par g la fonction numérique définie sur [0;PI] par: g(x)= cos x x - sin x Étudier g et dresser son tableau de variation. En déduire le signe de g(x) sur [0;PI] 2) Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur [0; Pi] par: - x=0 f(0)=1 - x appartient à ]0;PI] f(x)=sin x / x Étudier les variations de f sur ]0; PI] 3) Etude de f en 0 a) Prouver que, pour tout nombre réel x plus grand ou égale à 0 0 plus petit ou égale à (x - sin x ) plus petit ou égale à (x^3/6) ( pour cela, on introduira la fonction Q définie sur [0; + infinie[ par: Q(x)=sin x - x + (x^3/6) on calculera les dérivées Q' ; Q'' ; Q''' et on en déduira le signe de Q.) b) Prouver que f est dérivable au point 0 et calculer f'(0). 4) construire la courbe représentative © de la fonction f dans un repère orthonormé ( 0; i;j) ( on prendra 3cm pour unité.)
E-Bahut elp Posté(e) le 10 octobre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 10 octobre 2009 réponse postée le 6/10 xcos(x)-sin(x) déf , continue et dériv sur [o,pi] comme produit et diff de f déf, continues et dériv sur [0,pi] g'(x)=cos(x)+x(-sin(x))-cos(x)=-x*sin(x) ds [0,pi]: x >=0 et sin(x)>=0 donc g'(x) est >=0 g est donc décroissante ds [0,pi] g(0)=0 et g(pi)=-pi on en déduit que g(x) <=0 pour x ds [0,pi] je te joins la courbe (à limiter entre 0 et pi) 2) f(x)=sin(x)/x qd x différent de 0 on pose u(x)=sin(x) et v(x)=x f'(x)=(u'v-uv')/v²=[cos(x)*x-sin(x)*1]/x²=g(x)/x² on utilise le 1) f'(x)=g(x)/x² x² >0 dc f' du signe de g dc négatif dc f décroit f(0)=1 f(pi)=0 3) q(x)=sin(x)-x+x^3/6 q'(x)=cos(x)-1+3x²/6=cos(x)-1+x²/2 q''(x)=-sin(x)+6x/6=-sin(x)+x q'''(x)=-cos(x)+1 ds R+ q'''(x)=1-cos(x) est >=0 dc q'' croissante on calcule q''(0) et on trouve 0 donc q'' >=0 dc q' croissante on calcule q'(0) on trouve 0 dc q' positive et q croissante on calcule q(0) et on trouve 0 dc q >=0 sin(x)-x+x^3/6>=0 fait que x^3/6>=x-sin(x) Soit r(x)=x-sin(x) ds R+ r'(x)=1-cos(x) r' est dc positive dc r croissante r(0)=0 dc r >=0 ds R+ et x-sin(x)>=0 on a bien l'encadrement demandé 4) on doit étudier la limite de A= [f(x)-f(0)]/(x-0) qd x tend vers 0 pour voir si f est dérivable en 0 f(0)=1 (posé ds l'énoncé) A=[sin(x)/x-1]/x= [(sin(x)-x]/x² on utilise l'encadrement précédemment trouvé 0/x²<=A<=[x^3/6]/x² 0<=A<=x/6 qd x td vers 0, x/6 td vers 0 dc A td vers 0 la dérivée en 0 existe bien et c'est 0
sonia22 Posté(e) le 10 octobre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 10 octobre 2009 réponse postée le 6/10 xcos(x)-sin(x) déf , continue et dériv sur [o,pi] comme produit et diff de f déf, continues et dériv sur [0,pi] g'(x)=cos(x)+x(-sin(x))-cos(x)=-x*sin(x) ds [0,pi]: x >=0 et sin(x)>=0 donc g'(x) est >=0 g est donc décroissante ds [0,pi] g(0)=0 et g(pi)=-pi on en déduit que g(x) <=0 pour x ds [0,pi] je te joins la courbe (à limiter entre 0 et pi) 2) f(x)=sin(x)/x qd x différent de 0 on pose u(x)=sin(x) et v(x)=x f'(x)=(u'v-uv')/v²=[cos(x)*x-sin(x)*1]/x²=g(x)/x² on utilise le 1) f'(x)=g(x)/x² x² >0 dc f' du signe de g dc négatif dc f décroit f(0)=1 f(pi)=0 3) q(x)=sin(x)-x+x^3/6 q'(x)=cos(x)-1+3x²/6=cos(x)-1+x²/2 q''(x)=-sin(x)+6x/6=-sin(x)+x q'''(x)=-cos(x)+1 ds R+ q'''(x)=1-cos(x) est >=0 dc q'' croissante on calcule q''(0) et on trouve 0 donc q'' >=0 dc q' croissante on calcule q'(0) on trouve 0 dc q' positive et q croissante on calcule q(0) et on trouve 0 dc q >=0 sin(x)-x+x^3/6>=0 fait que x^3/6>=x-sin(x) Soit r(x)=x-sin(x) ds R+ r'(x)=1-cos(x) r' est dc positive dc r croissante r(0)=0 dc r >=0 ds R+ et x-sin(x)>=0 on a bien l'encadrement demandé 4) on doit étudier la limite de A= [f(x)-f(0)]/(x-0) qd x tend vers 0 pour voir si f est dérivable en 0 f(0)=1 (posé ds l'énoncé) A=[sin(x)/x-1]/x= [(sin(x)-x]/x² on utilise l'encadrement précédemment trouvé 0/x²<=A<=[x^3/6]/x² 0<=A<=x/6 qd x td vers 0, x/6 td vers 0 dc A td vers 0 la dérivée en 0 existe bien et c'est 0 est ce que tu pourrait m'expliquer plus en détails parce que je n'ai pas compris ta correction
E-Bahut elp Posté(e) le 10 octobre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 10 octobre 2009 explication partielle on a montré que q'est positive donc on en déduit que q croissante on calcule q(0) et on trouve 0 donc comme q est croissante, si x >0 alors q(x)>q(0) dc q(x)>0 dc positive c'est le même raisonnement à faire vant pour q''', q'', q' pour la fin: on se sert de la déf de la dérivée en un point lim qd h td vers 0 de [f(x+h)-f(x)]/h ici x=0 donc lim qd h td vers 0 de [f(h)-f(0)]/h [f(h)-f(0)]/h=[sin(h)/h-1]/h car on pose ds l'énoncé f(0)=1 [sin(h)/h-1]/h=[sin(h)-1]/h² ensuite tu utilises les encadrements démontrés avant (voir la fin de ma correction)
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