Award Posté(e) le 27 septembre 2009 Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Bonjour à tous ! Dans cet exercice, on considère les nombres entiers naturels qui ne s'écrivent qu'avec des 1, parfois appelés repunits. On note U1=1 U2=11 U3=111 ...etc 1)a) Justifier que U3 est divisible par 3 et que U9 est divisible par 9. b) U7 est-il divisible par 7? c) Existe-t-il des entiers n pairs tels que Un soit divisible par n? 2)a)Justifier que, quel que soit n appartenant à * : Un= 10n-1 / 9 b) En déduire que, qulque soit p*, le reste de la division euclidienne de 10p par 3 est égal à 1. 3) Soit n un entier naturel non nul quelconque a) Vérifier que : 103n-1 = (10n-1)(102n+10n+1) b) En déduire que : U(3n) = Un (102n+10n+1) c) Montrer que 102n+10n+1 est divisible par 3 d) En déduire que U(3n) est divisible par 3Un 4)a) A l'aide du résultat du 3) et des exemples du 1)a), proposer une autre valeur de p (p>1) pour laquelle Up est divisible par p. b) Montrer ensuite qu'il existe une infinité de valeurs de p (p>1) pour lesquelles Up est divisible par p. On utilisera un raisonnement par récurrence.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Pour le 2) t'as fait une erreur de signe : Un= (1-10^(n+1)) / (1-10) = (1-10^(n+1)) / (-9) = (10^(n+1)-1) / (9) CQFD J'ai corrigé un exo analogue récemment : Essayes de t'en inspirer.
Award Posté(e) le 27 septembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Le but n'est pas de trouver (10^(n+1)-1) / (9) mais 10n-1 / 9 Donc ça ne va pas.
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Regardes ma correction....
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 En lien; il faut sommer jusqu'à n-1
Award Posté(e) le 27 septembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Je ne comprend vraiment pas
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Soit Np défini par la série géométrique suivante : quelque soit p app à N : p=>2, Np = somme_{i=0}^{p-1} 10^i D'après la série géométrique, Np = (1-10^{p-1+1})/(1-10) = (10^p-1)/9 CQFD.
Award Posté(e) le 27 septembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Ha en fait Un est la somme d'une suite géométrique de raison 10 avec U1=1 Un=1+10+....+10^n-1 Un= 1-10n / 1-10 = 1-10n / -9 =(10^n -1) / 9 C'est ça?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Oui
Award Posté(e) le 27 septembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 D'accord en fait c'est moi qui avait fait une erreur toute bête, Et pour la 2)b) je dois m'y prendre comment?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 2b) D'après a) 10^9 = 9*Np+1 = 3*(3*Np) + 1 Donc le reste de 10^p/3 est 1 et la partie entière est 3*Np
Award Posté(e) le 27 septembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Ok merci Bon j'ai avancé et maintenant j'en suis à la question 3)c) 3)c)Quelle est la méthode pour montrer que 10^2n+10^n+1 est divisible par 3?
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 3c) D'après 2)b, quelque soit p app à N*, il existe q app à N* : 10^p = 3q+1. On applique à ton égalité : 10^(2n) + 10^(n) + 1 = 3q1 + 1 + 3q2 + 1 + = 3(q1+q2) + 3 = 3(q1+q2+1) Et pour n=0, on a 1+1+1=3 CQFD. 3)d) D'après 3)b) U(3n)=Un*(10^(2n)+10^n+1) = 3Un*(q1+q2+1) CQFD. Il n'y a pas de redaction, donc a toi de la refaire.
Award Posté(e) le 27 septembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Ha ouais c'est pas si simple mais le raisonnement est super ! Merci Plus que 2 questions, je vois le bout Mais c'est super compliqué^^ Une piste?
maloulou62180 Posté(e) le 27 septembre 2009 Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Bonjour , je vois que tu es en terminal , es que ca te dérangerai de venir jeter un coup d'oeil à mon exo et maider svp Ce serais vraiment sympas
Award Posté(e) le 27 septembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 J'essairait de venir t'aider lorsque j'aurais fini mon DM Plus vite on m'aide, plus vite je t'aiderais :p
Award Posté(e) le 27 septembre 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 S'il vous plait c'est pour demain , je suis perdu
E-Bahut Boltzmann_Solver Posté(e) le 27 septembre 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 27 septembre 2009 Tu pourrais au moins proposer quelque chose..... (La j'ai fait les 3/4 du DM...). Et je n'ai pas que aider les élèves à faire..... 4)a) D'après 1a) U3 est dv par 3 et U9 et U(3n)=3*Un. Donc hypothèse de récurrence : U(3^n) est divisible par 3^n Test avec 27 et ça marche. b) Démonstration sans récurrence : Soit n=3^m avec m app à N. Donc U(3*3^m)=3*U(3^m)*O_m. On a donc : U(3*3^m)=3*U(3^m)*O_m U(3^m)=3*U(3^(m-1))*O_(m-1) . . . . U(3) = 3*U1*O_0 Par télescopage, on obtient U(3^(m+1) = 3^(m+1)*U1*(Produit_{i=0}^{m}O_i) Donc : Quelque soit m app à N*, U(3^m) est divisible par 3^m.
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