Exo Mathématiques

[piimOusse63]

Exercice :

Soit la fonction définie sur [3;+ l'infini [ par f(x) = -2 (x-3)²-4

Montrer le sens de variation de f sur [3;+ l'infini[ par deux méthodes.

Méthode 1 :

Soient 2 nombres réels a et b de [3;+ l'infini [ tels que a<b.

1) Montrer que f(a) - f(b) = -2(a-b) (a+b-6)

2) a) Quel est le signe de a-b ? Justifier.

b) Quel est le signe de a+b-6 ? Justifier.

c) En déduire le signe de f(a)-f(b).

3) Conclure pour le sens de variation de f sur [3;+ l'infini[.

Méthode 2 :

1) Écrire f comme la composée de deux fonctions de référence.

2) Compléter le schéma avec les intervalles sachant que x appartient à [3;+l'infini[.

3) Déterminer le sens de variations de f en utilisant le théorème sur la composition de fonctions. Justifier.

Merci d'avance.

[Boltzmann_Solver]

Bonjour,

M1 :

1)

f(a) - f(b) = -2 (a-3)²-4 - (-2 (b-3)²-4) = -2 (a-3)² - 4 - (-2 (b-3)²) + 4 = -2*((a-3)²-(b-3)²) = -2*(a+b-3-3)(a-3-b+3) = -2(a+b-6)(a-b) CQFD

2)

a) On sait que a<b ==> a-b<0. Donc sur l'intervalle proposé, a-b est inférieur à zéro.

b) On sait que a=>3 et b=>3 ==> a+b=>6 ==> a+b-6 => 6-6 =>0 ==> a+b-6 =>0

c) Donc, sur l'intervalle [3,+inf[² pour (a,b), on a -2 <0 a-b <0 et a+b-6=>0. Soit (-)*(-)*(+). Donc f(a) - f(b) > 0

3) D'après 2c), on peut dire que f est décroissante sur l'intervalle car si a<b, alors f(a) > f(b)

M2 :

1)

Soit g(x) = -2x² -4 et h(x) = x-3. On trouve que f=goh.

2) Quel schéma??

3) Avant, je veux être sur que tu es en seconde??