Spé Maths Ts

[Jeand]

bonjour je reviens vers vous pour deux questions d'un exo:

Soi pout tou n=>2 Np=1..1 où 1 apparit p fois dans Np

1) N2=11 premier, N3=111 pas premier et N4=1111 pas premier

2) On me demande de montrer que Np=(10^p-1)/9 le prof nous a dis de montrer que c'est une suite geométrique de raison 10 on peux faire une conjecture

mais je ne trouve pas

3) Il faut montrer que Si p est paire (p=2k) alors Np est divisible par N2 (Rappel: x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1)

4) Il faut demontrer que si p est un multiple de q alors Np est divisible par Nq

5) Le resultat du début est il démontrer? La reciproque est elle juste?

voilà donc je suis un peu perdu merci

[Boltzmann_Solver]

Salut,

Je te signale que 1 et 2 sont déjà corrigé dans ton précédent post.

2) Inutile de conjecturer. Cf post précédent.

[Boltzmann_Solver]

Est-ce-que je corrige la suite???

[Jeand]

oui merci

[Boltzmann_Solver]

3) Soit p=2k, N_p = N_{2k} = (10^{2k}-1)/9 = (100^{k}-1)/9 = (D'après la série géo) 1/9*(100-1)*somme_{i=0}^{k-1} 100^i = 99/9*somme_{i=0}^{k-1} 100^i = N_2*somme_{i=0}^{k-1} 100^i

Or la somme d'entier naturel donne un entier naturel (Stabilité par LCI de + sur N, si t'as des notions de Th des ensembles (Là, je m'avance un peu peu être)) Donc, soit j = somme_{i=0}^{k-1} 100^i

N_p = N_2*j Donc N_p est divisible par N_2

4) Avec ce raisonnement, essayes de le généraliser.

[Boltzmann_Solver]

Pour 5), j'attends que tu réussisses le 4)

[Jeand]

Enfaite, je crois que votre raisonnement n'est pas de mon niveau car j'ai jamais vu ce genre de chose telle que les "i". Merci quand même je vais essayer de faire de mon mieu

[Boltzmann_Solver]

Si c'est niveau TS (En faite, vu que l'on te donne la série géométrique, on pourrait même faire cela en 1erS).

[Jeand]

je connais la suite geométrique mais pas la série

[Boltzmann_Solver]

(Rappel: x^n-1=(x-1)(x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1) : Ca, c'est la série géométrique et je l'ai vu dans des bouquins de TS

[Boltzmann_Solver]

(Rappel: (x^(n-1)+x^(n-2)+...+x+1) : Ca, c'est la série géométrique et je l'ai vu dans des bouquins de TS

[Boltzmann_Solver]

4) Soit p=qk, N_p = N_{qk} = (10^{qk}-1)/9 = ((10^q)^{k}-1)/9 = (D'après la série géo) 1/9*(10^q-1)*somme_{i=0}^{k-1} (10^q)^i = N_q*somme_{i=0}^{k-1} (10^q)^i

Or la somme d'entier naturel donne un entier naturel (Stabilité par LCI de + sur N, si t'as des notions de Th des ensembles (Là, je m'avance un peu peu être)) Donc, soit j = somme_{i=0}^{k-1} (10^q)^i.

N_p = N_q*j Donc N_p est divisible par N_q

5) Oui N_p est premier si p est lui même premier.

Supposons qu'il exsite n app à N* : N_p = n*N_q

(10^p-1)/9 = n*(10^q-1)/9

10^p = 1+n*10^q -n

10^p = 10^q*[n+(1-n)/10^q]

10^p = 10^q*[n+(1-n)/10^q]^(q/q) = (10*[n+(1-n)/10^q]^(1/q))^q

p = q*log((n*10^q + 1-n)^(1/q))

Il faut que log((n*10^q + 1-n)^(1/q)) soit toujours entier. Raisonnons par l'absurde, prenons n=3 et q=4

log((n*10^q + 1-n)^(1/q)) = 1.119...

Donc p = 4*1.1119 et pn'est pas entier. On a un couple qui ne vérifie pas p=m*q Donc, la réciproque n'est pas vérifiée.

[Boltzmann_Solver]

PS : La rédaction de 5) n'est pas terrible.