Dm Math Suite

[titemiss]

J'aimerais de l'aide sur cette exercice (voir pièce jointe). Merci

[Boltzmann_Solver]

Connais tu les raisonnements par récurrence??

[titemiss]

Connais tu les raisonnements par récurrence??

[titemiss]

Connais tu les raisonnements par récurrence??

[Boltzmann_Solver]

mais je n'arrive pas à montrer que racine((1+cosx)/2) = cos x/2

ainsi que le le 2b

[Boltzmann_Solver]

T'as réussi à faire le début?

(Je suppose que tu es en TS)

[Boltzmann_Solver]

1) Soit la proprété Pn : sqrt(2)/2 Un 1 que l'on cherche à vérifier pour quelque soit n app à N*.

Ininialisation : n=1 U1 = sqrt(2)/2. Donc, c'est vrai.

Hérédité. Supposons Pn vrai au rang n. A t-on le propriété vraie au rang n+1.

sqrt(2)/2 Un 1 => sqrt(2)/2 + 1 Un + 1 2

=> sqrt((2+sqrt(2))/2) sqrt(Un+1) sqrt(2)

=> sqrt(2/4)*sqrt((2+sqrt(2))/2) sqrt(2)/2*sqrt(Un+1) = U_{n+1} sqrt(2)*sqrt(2)/2

=> sqrt(2+sqrt(2))/2 U_{n+1} 1

=> sqrt(2)/2 sqrt(1+1/sqrt(2))*sqrt(2)/2 sqrt(2+sqrt(2))/2 U_{n+1} 1

=> P_{n+1}

Donc si Pn est vraie, alors P_{n+1} est vraie également.

Conclusion, on a démontré par récurrence que Pn est vrai quelque soit n app à N*.

sqrt(1+sqrt(2))*sqrt(2)/2 - 1 U_{n+1} - Un 1-sqrt(2)/2

Es tu d'accord??

[Boltzmann_Solver]

J'attends que tu confirmes avant de donner la suite.

[nani_]

oui j'ai fait cela, merci, mais l'endroit où je bloque vraiment c'est pr le 2, quand il demande racine(1+cosx)/2=cos(x/2)

j'ai essayé de le faire avec les limites mais je ne pense pas que c'est juste...

[Boltzmann_Solver]

T'as fait la variation comment?

(Faisons dans l'ordre!!! On gagnera du temps) (T'as combien de Pseudo??)

[nani_]

j'ai juste démontré qu'elle était croissante et comme Un<1 ben (Un) converge vers 1

[Boltzmann_Solver]

Faux!!! Tu ne peux pas dire ça.

Comment tu montres qu'elle converge?

[Boltzmann_Solver]

Tu dois démonter que converge? Et c'est pas parce que Un est majoré par 1 qu'elle converge en 1 (Il se trouve que dans ton exo, c'est le cas).

[nani_]

mais la première partie et la deuxième n'ont pas vraiment de rapport?! :S

[Boltzmann_Solver]

Biensur que si!!!!!

[Boltzmann_Solver]

Tu veux les réponses et c'est tout, ok.

1b)

Soit f(x), l'entension dans R de U_{n+1} - Un. Donc,

f(x) = sqrt(2)*sqrt(1+x)/2 - x.

Etudions f sur cet l'intervale 0,1.

f'(x) = sqrt(2)/2*1/(2*sqrt(1+x)) - 1 = sqrt(2)/(4*sqrt(1+x)) -1

f'(x) >0 => sqrt(2)/(4*sqrt(1+x)) > 1 => sqrt(1+x) < sqrt(2)/2 => x < 1/2 -1 = -1/2

Donc f est décroissante sur [0,1]? Or f(1) = 0. Donc, U_{n+1}-U_n est positif ou nul. Or U_n est aussi majoré par 1. Conclusion, U_n est convergente.

2a)

sqrt((1+cos(x))/2) = cos(x/2). => (1+cos(x))/2 = cos²(x/2) => (1+cos(x)) = 2*cos²(x/2) ==> sqrt(1+cos(x)) = sqrt(2)*cos(x/2)

Or en posant a=x/2, on reconnait la formule de linéarisation de cos². Donc cette relation est vraie sur R et par restriction sur [0,pi[

2b) On remplace Un par son expression

sqrt(2)/2 * sqrt(1+cos(pi/2^(n+1))) = D'aprsès 2a à sqrt(2)/2 * sqrt(2)*cos(pi/(2*2^(n+1))) = cos(pi/2^(n+2)) = U_{n+1} CQFD

Par extention dans R de Un, on peut écrire que :

lim_{x---> +inf} U_x = cos(0) = 1

Voila