Espace

[somelia]

bonjour , pouvez vous m'aider je n'arrive pas à faire cet exercice :

[Boltzmann_Solver]

bonjour , pouvez vous m'aider je n'arrive pas à faire cet exercice :

[Boltzmann_Solver]

Il semblerait que les produits vectorielles ne soit pas aux programmes des lycées. Donc, on devra passer par le produit scalaire.

Soit le plan P, tel que 0 appatiennent à P. Donc P : ax+by+cz=0 (En appliquant P en (0,0,0), on obtient d=0)

Soit P appartenant à P1 inter P2

Simplifions le système formé par P1 et P2.

2x+y-3z+1=0

x-y+2=0

L1 + L2 : x-z = -1 (1)

L1 - 2L2 : y-z=1 (2)

Une droite dans l'espace est définie par un vecteur est un point d'origine. Soit V, un vecteur collinéaire à la droite formé par P1 inter P2.

V1=(x2-x1, y2-y1, z2-z1)

En différenciant (1) et (2), on trouve que : x2-x1 = z2-z1 et y2-y1 = z2-z1

Donc V1 devient : V1=(z2-z1,z2-z1,z2-z1)=(z2-z1)*(1,1,1). Or, par déffinition d'un vecteur collinéaire, on peut se débaraser du facteur et on obtient V1=(1,1,1)

Ensuite, il nous faut un point d'origine. En choisissant z1=1, on obtient : x1 = z1 + 1 = 2 et y1=z1 - 1 = 0. Donc le point A(x1,y1,z1) = (2,0,1)

Pour définir le plan P, il nous faut deux vecteurs. Le premier est V1 et le second est défini par V2 = OA = (2,0,1).

Pour trouver l'équation du plan, on va utiliser la proprièté suivante : le vecteur normal au plan est proportionnel aux coeeficiants du plan en x,y,z. Donc n_{P} = alpha*(a,b,c).

Donc, nous allons déterminer le vecteur normal au plan P2.

V1.n_{P} = nx + ny + nz = 0 (3)

V2.n_{P} = 2nx + nz = 0 (4)

Dernière condition n_{P} est non nul.

En substituant (4) dans (3), on obtient :

V1.n_{P} = ny - nx = 0 (5)

V2.n_{P} = 2nx + nz = 0 (4)

Dernière condition n_{P} est non nul.

Là, il faut choisir un nx, permettant d'avoir n_{P} non nul. Prenons nx = 1

D'après (5), ny=1

D'après (4) nz=-2

Donc, n_{P2}=(1,1,-2)

Et par consequant, P est définit par alpha.(a+y-2z)=0 avec alpha non nul. En prenant alpha=1, on retrouve la solution a).

Voilou

[Boltzmann_Solver]

C'est bien sur : (x+y-2z)=0