Exercice Nn Compris

[ahmeddur]

bonjour

j'ai des exercices de math je ne comprend pas pouvez vous m'aidez svp.

Exercice 1:

Quelle est l'intersection du plan P d'équation x+3y-z+1=0 et de la droite D dont une représentation paramétrique est:

x=1+3t

y=-2-1t avec t appartient à R?

z=2

Exercice 2

Quelle est l'intersection du plan P d'équation:

x=5+t

y=1+t avec t appartien à R?

z=4+t

exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O;I;J;K) on considère les points:

A(3;0;10) , B(0;0;15) , C(0;20;0)

1)a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

b)Montrer que la droite (AB) coupe l'axe des abiscisses au point E(9;0;0).

c)Justifier que les points A,B et C ne sont pas alignés.

2) Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.

a)Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

b)Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).

c)Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

d)Montrer que le système:

x=0

4y-3z=0

20x+9y+12z-180=0

a une solution unique. Que représente cette solution?

e) Calculer la distance OH,en déduire que EH=15 et l'aire du triangle EBC.

3) En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC).

Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l'équation obtenue en 2.c.?

merci de votre aide

[Barbidoux]

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Exercice 1:

Quelle est l'intersection du plan P d'équation x+3y-z+1=0 et de la droite D dont une représentation paramétrique est:

x=1+3t

y=-2-1t

z=2

avec t appartient à R

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En remplaçant x, y et z exprimés en fonction de t dans l’équation du plan on obtient une équation qui na pas de sens puisque les termes en t d’annulent. La droite D est donc paralléle au plan P.

Une autre manière de le démontrer est de dire que le vecteur n{1,3,-1} perpendiculaire au plan P l’est aussi à la droite D puisque son vecteur directeur u{3,-1,0} est tel que n.u=0 ce qui montre que D est parralèle à D

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Exercice 2

Quelle est l'intersection du plan P d'équation:

x=5+t

y=1+t avec t appartien à R?

z=4+t

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En remplaçant x, y et z exprimés en fonction de t dans l’équation du plan on obtient : 5+3*t=0 ==> t=-5/3 et les coordonnée du point d’intersection de P et de D sont{ 10/3, -2/3, 7/3}

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exercice 3

L'espace est rapporté à un repère orthonormal (O;I;J;K) on considère les points:

A(3;0;10) , B(0;0;15) , C(0;20;0)

1)a) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

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M{x,y,z} est un point de AB{-3,0,5} ==> AM{x-3,y,z-10} et l’équationb paramétrique de AB s’obtient en écrivant que AM=k*AB ==>

x-3=-3*k ==> x=-3*k+3

y=0

z-10=5*k==>z=5*k+10

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b)Montrer que la droite (AB) coupe l'axe des abiscisses au point E(9;0;0).

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x=9=-3*k+3 ==> k=-2 ==> z=0 et E est bien un point de AB

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c)Justifier que les points A,B et C ne sont pas alignés.

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AB{-3,0,5} g*AC{-3,20,-10} ce qui montre que les vecteurs AN et AC ne sont pas proportionnels donc que les points A, B et C ne sont pas alignés.

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2) Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.

a)Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH) est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

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C et B sont des point du plan (oy,oz) et OE appartenant à l’axe ox est perpendiculaire à ce plan donc à toute droite de ce plan et en particulier BC.

BC étént perpendiculaire au droites OH et OE est perpendiculaire au plan OHE donc à toue droite de ce paln et en particulier HE et HE est la hauteur du traiangle CEB

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b)Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).

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L’équation générale d’un plan s’écrit ax+by+cx+d=0

BC{0,20,-15} est un vecteur normal au plan dont l’équation est 20*y-15*z+d=0. la valeur de d est détreminée en écrivant que la plan passe par O{0,0,0} ==>d=0 et l’équation paramétrique du plan est

x=0

4*y-3*z=0

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c)Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).

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L’équation générale d’un plan s’écrit ax+by+cx+1=0

Le plan passe par C{0,20,0} ==> 20*b+1=0 => b=-1/20

Le plan passe par B{0,0,15} ==> 15*c+1=0 ==> c=-1/15

Le plan passe par A{3,0,10} ==> 3*a+10*c+1=0 ==>a=-5/45 et l’équation du plan s’écrit

-5x/45-y/20-z/15+1=0 ==> 20*x+9*y+12*z-180=0

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d)Montrer que le système:

x=0

4y-3z=0

20x+9y+12z-180=0

a une solution unique. Que représente cette solution?

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4y-3z=0

9y+12z=180

==> 25y=180 ==> y=36/5 et z=48/5

Cette solution représente les coordonnées du vecteur direteur de la droite d’intersection des plans OHE et ABC

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e) Calculer la distance OH,en déduire que EH=15 et l'aire du triangle EBC.

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Le triangle BOC est rectangle en O ==> BC*OH=OB*OC ==> OH=15*20/ (20^2+15^2)=12

HE étant l’hypothénuse de OHE ==> HE= (OH^2+OE^2)= (12^2+9^2)=15

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3) En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la distance du point O au plan (ABC).

Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l'équation obtenue en 2.c.?

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??? Là je ne vois pas ce qui relie le volume de du tétraèdre OEBC et la distance du point O au plan (ABC).

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