Dm De Math

[the rock]

salut j'ai un dm et je bloque sur cet exercice:

f est la fonction definie sur R-{1} par : f(x) = x^3 - 2x² / (x-1)²

1) determiner les limites aux bornes de l'ensemble de definition f. (Cf) admet-elle une asymptote? si oui, en preciser l'equation

2) a) ecrire f(x) sous la forme : f(x)= ax+ b/x+1 + c/(x+1)² pour tot x different de 1ou a,b et c sont trois réels a determiner

en deduire l'existance d'une asymptote oblique dont on donnera une equation

3) etudier les variatons de la fonction f.

4) determiner les coodonnées des points d'intersection de la courbe (cf) et des axes du repere. determiner les tangentes en ces pionts

merci d'avance

[Papy BERNIE]

Bonsoir,

1) f(x)=(x^3-2x²)/(x²-2x+1)-->valeur interdite : x=1

Donc limite en -oo et +oo donnée par lim de x^3/x²=x

Donc pour x-->-oo, f(x)-->-oo

et pour x-->+oo, f(x)--->+oo

Quand x tend vers 1- ou vers 1+, le numé tend vers 1-2=-1 et le déno tend vers 0 mais est positif donc f(x) tend vers -oo.

La droite x=1 est asymptote.

2)

a)

Tu réduis au même déno :

f(x)=[ax(x²-2x+1)+b(x-1)+c]/(x+1)²--->tu développes le numé que tu compares avec x^3-2x² et tu trouves :

a=1 puis a+b=0 puis -b+c=0

donc a=1 ; b=-1 ; c=-1

f(x)=x -1/(x+1) - 1/(x+1)²

b)

f(x)-x= -1/(x+1) - 1/(x+1)²

Donc quand x-->-oo ou x--->+oo, alors -1/(x+1) - 1/(x+1)²-->0

donc f(x)-x---->0

donc la droite y=x est asymptote oblique.

3)

Tu calcules f '(x) et tu fais le tableau. Elle est de la forme u/v avec :

u=x^3-2x² donc u'=3x²-4x

v=x²-2x+1 donc v'=2x-2

Pas le temps de la faire.

4)

Tu fais x=0 pour intesec avec axe des y . Un point : (0;0)-->l'origine.

Tu fais f(x)=0 pour intesec avec axe des x.

(x^3-2x²)/(x-1)=0 donne :

x²(x-2)=0

x=0 ou x=2

Tu reportes ds f(x) pour avoir l'ordonnée. Donc 2 points dont un qui est l'origine.

Equa tgtes :

Tu appliques :

L’équation d’une tgte à une courbe représentative de la fonction f(x) en un point d’abscisse « a » est donnée par :

y=f ‘ (a) (x-a)+f(a)

Un peu de calcul à faire...

A+