2 Exos Sur Les Suites.

domiyoji · le 15 mai 2009

Bonjour,j'aurais besoin d'aide pour les deux exercices suivants SVP:

Exo 1:

Soit (Un) la suite définie par Uo=-1 et,pour tout naturel n, Un+1=(4Un)/(4-Un)

La suite (Vn) est définie par Vn=(3Un+2)/(Un)

1) conjecturez graphiquement le comportement de la suite (Un)

2) Prouvez que la suite (Vn) est arithmétique;donnez son premier terme et sa raison.

3)Exprimez Vn puis Un en fonction de n.

4)Déduisez en la limite de le suite Un.

Exo2:

Une suite (Un) est définie par Uo=0,U1=10 et, pour tout entier n,

Un=2=((1/3)Un+1)+((2/3)Un)

On note Vn la suite telle que, pour tout entier n,

Vn=Un+1-Un [1]

1)Quelle relation lie Vn+1 et Vn?

b.Déduisez-en que la suite (Vn) est géométrique et calculez Vn en fonction de n.

2)a.En tenant compte de la relation [1] démontrez que Un=Uo+(Vo+...+Vn-1)

b.Déduisez-en Un,en fonction de n.

c)La suite (Un) est-elle convergente?

Boltzmann_Solver · le 15 mai 2009

Je vais t'expliquer le 1er exo. Le deuxième étant de la même veine, je te laisserai le faire toi même et si t'as un doute, envoie nous les réponses.

1) voir pdf /applications/core/interface/file/attachment.php?id=4344">graph.pdf

2) Une série arithmétique se définit comme suit: w_{n}=r.n+w_{0} ou r est la raison et w_{0} est on premier terme.

Si vn est arithmétique v_{n+1} - v_{n} = cste = r (car w_{n+1} - w_{n} = (n+1)r - rn = 1.r

Donc calculons le.

v_{n+1} - v_{n} = (3u_{n+1}+2)/u_{n+1} - (3u_{n}+2)/u_{n} En séparent les sommes

= 3 +2/u_{n+1} - ( 3 - +2/u_{n})

= 2*(1/u_{n+1}-1/u_{n+1})

= 2*(u_{n}-u_{n+1})/(u_{n}.u_{n+1}) (Relation 1)

Or, d'après la définition de u_{n+1} : u_{n+1} = 4.u_{n}/(4-u_{n}) => u_{n+1}.(4-u_{n}) = 4u_{n}

=> 4(u_{n+1}-u_{n}) =u_{n+1}.u_{n} (Relation 2)

On injecte la relation 2 dans la relation 1.

v_{n+1} - v_{n} = 2*(u_{n}-u_{n+1})/( 4(u_{n+1}-u_{n})) => v_{n+1} - v_{n} = -2/4 = -1/2

Donc la raison est -1/2.

Enfin le premier terme v_{0} = (3.u_{0}+2)/u_{0} = (-3+2)/(-1) = 1

3)

En reprenant la définition de la suite arithmétique, on peut écrire que v_{n} = 1-n/2.

Ensuite pour Un, on se sert de la définition de v_{n} = 1-n/2 = (3u_{n}+2)/u_{n} => u_{n}.(1-n/2) = (3u_{n}+2)

=> u_{n}.(1 - n/2 -3) = 2

Or, quelque soit n appartenant à N, (1 - n/2 -3) -2, dont on peut diviser par cette quantité et on obtient :

u_{n} = -2/(2 + n/2) = -4/(4+n)

On retrouve bien la forme d'une fonction inverse de la question 1.

4) Calcul de la limite de u_{n} par extension de la suite sur R.

lim_{n-->+infini} u_{n} = lim_{n-->+infini} -4/(4+n)=0

Voila, j'espère avoir été clair et pas trop lourd sur les notations (j'ai pas l'habitude d'écrire des maths sur les forums sans fonctions latex se qui fait que mon écriture est un ersatz de latex). Si jamais tu veux des précisions , n'hésites pas.

/applications/core/interface/file/attachment.php?id=4344">graph.pdf

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