Les Suites

[yaya868]

Salut j'ai un dm de math a faire le voici

exercice 1

Au 1er janvier 2000, la population urbaine notée U(indice 0) et la population rurale notée R(indice 0) d'un canton sont égales

U0=R0=1000

on prévoit que la première poulation augmentera de 6% par an et la deuxième diminuera de 8% par an.

On note respectivement Un et Rn les populations urbaine et rurale au 1er janvier 2000+n

1> Montrer que les suites U et R sont des suites géométrique. préciser leur raison

2> Exprimer Un et Rn en fonction de n

3> Au 1er janvier de quelle année, la population urbaine du canton deviendra t-elle supérieur au double de la population rurale?

exercice 2

Les suites u et v sont définies sur N par

un = (1/4)(2^n-4n+5) et vn= (1/4)(2^n+4n-5)

1>montrer que la suite a définie par a(indice n)= u(indice n)+v(indice n) est géométrique et calculer la somme a(indice0)+ a(indice 1)+...+ a(indice10)

2>Montrer que la suite B définie par b(indice n)= U(indice n) - V(indice n) est arithmétique et calculer la somme b(indice 0) + b(indice 1)+...+ b(indice 10)

3> en déduire les sommes

U(indice 0)+ U(indice 1)+...+U(indice 10)

et

V(indice 0)+ V(indice 1)+...+ V(indice 10)

merci d'avance j'ai quelques problème pour le faire c' est pour jeudi merci...

[Barbidoux]

exercice 1

Au 1er janvier 2000, la population urbaine notée U(indice 0) et la population rurale notée R(indice 0) d'un canton sont égales

U0=R0=1000

on prévoit que la première poulation augmentera de 6% par an et la deuxième diminuera de 8% par an.

On note respectivement Un et Rn les populations urbaine et rurale au 1er janvier 2000+n

1> Montrer que les suites U et R sont des suites géométrique. préciser leur raison

U₁= 1,06*U₀ ; U₂= 1,06*U₁ = 1,06^2*U₀ ; suite géométrique de raison r=1,08

R₁= 0,92*U₀ ; R₂= 0,92*R₁ = 0,92^2*R₀; suite géométrique de raison r=0.92

2> Exprimer Un et Rn en fonction de n

U_n=1,06^n*U₀ et R_n=0,92^n*R₀

3> Au 1er janvier de quelle année, la population urbaine du canton deviendra t-elle supérieur au double de la population rurale?

1,06^n*U₀ > 2*0,92^n*R₀ comme U₀=R₀ ==>1,06^n > 2*0,92^n

(1,06/0,92)^n > 2 ==> on obtient soit par essais successifs soit en utilisant les logarithmes ln(1,06/0,92)^n > ln(2) ==>n*ln(1,06/0,92) > ln(2) ==> n > ln(2)/ln(1,06/0,92) =4,89 ==> n>5

exercice 2

Les suites u et v sont définies sur N par

un = (1/4)(2^n-4n+5) et vn= (1/4)(2^n+4n-5)

1>montrer que la suite a définie par a(indice n)= u(indice n)+v(indice n) est géométrique et calculer la somme a(indice0)+ a(indice 1)+...+ a(indice10)

u_n=(1/4)(2^n-(4n-5)) et v_n=(1/4)(2^n+(4n-5))

==> a_n=u_n+ v_n=2^n/2

==> b_n=u_n- v_n=-(4n-5)/2

2>Montrer que la suite B définie par b(indice n)= U(indice n) - V(indice n) est arithmétique et calculer la somme b(indice 0) + b(indice 1)+...+ b(indice 10)

b_n+1=-(4*(n+1)-5)/2= -(4n-5)/2-2 ==>b_n est une suite arithmétique de raison 2

b₀=5/2

b₁₀=-(40+5)/2

Sb=b₀+b₁+.....+b₁₀=11*(b₀+b₁₀)/2=-82,5

3> en déduire les sommes

U(indice 0)+ U(indice 1)+...+U(indice 10)

et

V(indice 0)+ V(indice 1)+...+ V(indice 10)

Sa=a₀+a₁+.....+a₁₀=(1/2)*(1-2^11)/(1-2)=1023,5

u₀+u₁+.....+u₁₀=(Sa+Sb)/2=470,5

v₀+v₁+.....+v₁₀=(Sa-Sb)/2=553

A vérifier.......