Vecteurs : Déterminer Un Coefficient De Colinéarité

[lolop53]

Bonjour,

J'ai un DM de maths à rendre dans une semaine, que j'ai commencé mais sur lequel je bloque à une question.

Voici le sujet, muni d'une figure :

ABCD est un parallélogramme.

M et N sont tels que le vecteur AM = 2/3 du vecteur AB et vecteur CN = 2/3 du vecteur CD.

1- a) Faire une figure

=> Voir figure annexe

b) Démontrer que BMDN est un parallélogramme

=> On sait que :

* (BM) et (DN) sont parallèles car M,B et D,N appartiennent respectivement aux côtés [AB] et [DC], qui sont des côtés opposés du parallélogramme ABCD, donc parallèles.

* M est tel que le vecteur AM = 2/3 du vecteur AB donc vecteur BM = 1/3 du vecteur BA

N est tel que le vecteur CN = 2/3 du vecteur CD donc vecteur DN = 1/3 du vecteur DC

AB = DC donc MB = DN

Conclusion : Comme [MB] et [DN] sont égaux et appartiennent à 2 droites parallèles, alors (MD) et (BN) sont parallèles. Nous avons donc un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles : BMDC est donc un parallélogramme.

2- La droite (AC) coupe (DM) en E et (BN) en F. Déterminer les réels k, k' et h tels que :

a) vecteur AE = k vecteur AC

=> J'ai trouvé : vecteur AE = 2/5 du vecteur AC

b) Vecteur EF = k' vecteur AC

=> J'ai trouvé : vecteur EF =1/5 du vecteur AC

c) Vecteur AF = h vecteur AC

=> J'ai trouvé : vecteur AF = 3/5 du vecteur AC

Voilà, jusque là je m'en suis sorti mais c'est aux deux dernières questions que je bloque :

3- Démontrer que MENF est un parallélogramme.

=> Alors on sait que (ME)//(NF) car MBND est un parallélogramme, mais il me manque un autre élément pour finir la démonstration .

4- La droite (BC) coupe (DM) en G et (MN) en H.

a) Démontrer que M est le milieu de [NH]

b) Démontrer que G est le milieu de [bH]

=> Je ne sais pas comment m'y prendre sur cette question.

Pourriez-vous m'indiquer comment procéder svp ?

Merci d'avance

[elp]

Bonjour,

J'ai un DM de maths à rendre dans une semaine, que j'ai commencé mais sur lequel je bloque à une question.

Voici le sujet, muni d'une figure :

ABCD est un parallélogramme.

M et N sont tels que le vecteur AM = 2/3 du vecteur AB et vecteur CN = 2/3 du vecteur CD.

1- a) Faire une figure

=> Voir figure annexe

b) Démontrer que BMDN est un parallélogramme

=> On sait que :

* (BM) et (DN) sont parallèles car M,B et D,N appartiennent respectivement aux côtés [AB] et [DC], qui sont des côtés opposés du parallélogramme ABCD, donc parallèles.

* M est tel que le vecteur AM = 2/3 du vecteur AB donc vecteur BM = 1/3 du vecteur BA

N est tel que le vecteur CN = 2/3 du vecteur CD donc vecteur DN = 1/3 du vecteur DC

AB = DC donc MB = DN

vecteur DN= vecteur MB suffit pour démontrer que MBNC est un parall.

Conclusion : Comme [MB] et [DN] sont égaux et appartiennent à 2 droites parallèles, alors (MD) et (BN) sont parallèles. Nous avons donc un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles : BMDC est donc un parallélogramme.

2- La droite (AC) coupe (DM) en E et (BN) en F. Déterminer les réels k, k' et h tels que :

a) vecteur AE = k vecteur AC

=> J'ai trouvé : vecteur AE = 2/5 du vecteur AC

b) Vecteur EF = k' vecteur AC

=> J'ai trouvé : vecteur EF =1/5 du vecteur AC

c) Vecteur AF = h vecteur AC

=> J'ai trouvé : vecteur AF = 3/5 du vecteur AC

Voilà, jusque là je m'en suis sorti mais c'est aux deux dernières questions que je bloque :

3- Démontrer que MENF est un parallélogramme.

=> Alors on sait que (ME)//(NF) car MBND est un parallélogramme, mais il me manque un autre élément pour finir la démonstration .

Soit O le centre du parall ABCD.

O est dc le milieu de AC et BD

Puisque MBND est un parall, ses diagonales se coupent en leur milieu dc O est ausii le milieu de MN.

Ds la sym de centre O:

D a pour image B

M a pour image N

(DM) a pour image (NB)

(AC) a pour image (AC)

l'intersection de (DM) et (AC) a pour image celle de (NB) et (AC)

dc E a pour image F

O est dc le milieu de EF et comme O est le milieu de MN cela prouve que EMFN est un parall.

4- La droite (BC) coupe (DM) en G et (MN) en H.

a) Démontrer que M est le milieu de [NH]

triangle NHC

M sur (HN) et B sur (HC)

(MB)//(NC)

Thalès: HM/HN=MB/NC

MB=AB/3 et NC=2DC/3=2AB/3 dc MB/NC=1/2

dc HM/HN=1/2 et dc M milieu de HN

b) Démontrer que G est le milieu de [bH]

triangle HNB

M milieu de HN dc HM/HN=1/2

(MB)//(BN) car B sur (MD) et DMBN parall

G sur (BH)

Thalès: HM/HN=HG/HB dc =1/2 et par suite G milieu de BH

=> Je ne sais pas comment m'y prendre sur cette question.

Pourriez-vous m'indiquer comment procéder svp ?

Merci d'avance

[lolop53]

Merci beaucoup pour votre aide, j'ai tout compris !!

C'est super sympa, merci encore .