Fonction Ln

[m4rin3]

salut à tous, est ce que qqn pourrait m'aider à faire cet exo? merci!

1) on considère une fonction u définie sur ]0;+infini[ par:

u(x)=lnx+x-3

a)étudier les variations de la fonction u et montrer que l'équation u(x)=0 a une racine alpha et une seule. donner un encadrement à 0.001 près.

b)étudier le signe de u(x)

2)on considère la fonction f définie sur ]0;+infini[ par:

f(x)=(1-(1/x))(lnx-2) et c sa courbe représentation graphique dans un repère.

a)déterminer les limites de f en 0 et en +infini

b)montrer que f est dérivable sur ]0;+infini[ et calculer f'(x).

c)étudier les variations de f et montrer que:

f(alpha)= - (alpha-1)²/alpha

dresser le tableau de variation et en déduire le signe de f(x).

Je vous remercie à l'avance.

[elp]

quelques indications:

1)

a)

u'(x)=1/x+1=(x+1)/x c tjs >0 ds ]0,+00[

u est monotone strictement croissante ds cet intervalle

si x td vers 0+, u(x) td vers -00

si x td vers +00, u(x) td vers +00

u monotone et strictement croissante de -00 à +00 dc il existe une valeur unique alpha de ]0;+00[ telle que u(alpha)=0

par essais successifs, on voit que alpha est proche de 2.2 (je ta laisse faire les calculs)

2)

f(x)=-1-1/x)(ln(x)-2)

si x td vers 0+: 1/x td vres +00, 1-1/x td vers -00

ln(x)-2 td vers -00

le produit td dc vers +00

si x td vers +00: 1-1/x td vers 1

ln(x)-2 td vers +00 dc le produit td vers +00

f dérivable ds ]0;+00 car 1/x, ln(x) le sont

f'(x)=(0+1/x²)(ln(x)-2))+(1+1/x)(1/x+0)=ln(x)/x²-2/x²+1/x-1/x²=ln(x)/x²-3/x²+1/x=((ln(x)-3+x)/x²=u(x)/x²

on va dc utiliser les résultats du 1)

ds ]0;+00[

x² >0 dc f'(x) est du signe de u(x)

f'(x)<0 ssi x<alpha et f décroit

f'(x)>0 ssi x> alpha et f croit

f'(x)=0 ssi x=alpha

alpha est tel que ln(alpha)+alpha-3=0 dc ln(alpha)=3-alpha

f(alpha)=(1-1/alp)(ln(alp)-2)=[(alp-1)/alp]*[3-alp-2]=[(alp-1)/alp][1-alp]=-(1-alp)²/alp=-(alp-1)²/alp

c'est un nbre négatif, c'est le min de f.

remarque

f(x)=0 ssi 1-1/x=0 ou ln(x)-2=0 dc si x=1 ou x=e^2

tableau:

0____________1_________alpha___________________e^2________________________+00

f'(x) - - 0 + +

f(x)+00 0 -(alp-1)²/alp 0 +00

avec ça tu peux trouver le signe de f(x)

[m4rin3]

D'accord jai compris.

Sauf une chose: comment je fais pour trouver le signe de u(x) ?

u(x) <0 dans ]0;alp[ et u(x)>0 dans ]alp;+00[

merci!

[elp]

D'accord jai compris.

Sauf une chose: comment je fais pour trouver le signe de u(x) ?

u(x) <0 dans ]0;alp[ et u(x)>0 dans ]alp;+00[

merci!

[m4rin3]

Ah bah oui, c'est tout bête!

Merci Beaucoup!