Dm De 1eres

[sousou06]

Bonjour à tous voilà j'ai ce devoir maison à faire pour la rentrée, je n'y arrive pas du tout !

est ce que vous pourriez m'aider svp c'est important!! merci d'avance

Le but de ce DM est de démontrer que cos'=-sin et que sin'=cos

1. D'abord un petit lemme: montrons que

lim cosh-1/h=0 et lim sinh/h=1

h->0 h->0

Considérons h appartenant à ] 0 ; pi/2 [ et M un point d'abscisse curviligne h sur le cercle trigonométrique de centre O et d'origine A. Notons B le point d'abscisse curviligne pi/2, S le point de coordonnées (0;sinh), C le pointde coordonnées (cosh;0) et T le point d'intersection de (OM) avec la droite d'équation x=1 .

a) Exprimer en fonction de h les distances OC, OS, AT l'aire des triangles OAM, OAT et 'aire du secteur angulaire (portion du cercle trigonométrique) AOM.

b) En déduire que : sinh < h < tanh puis que cos h < sinh/h < 1.

Quel argument intuitif peut on utiliser pour en déduire:

lim sinh/h=1 ?

h->0

c) Vérifier que ( 1/1+cosh)(sinh/h ) = 1-cosh/h

d) Quel argument intuitif peut-on utiliser pour en déduire :

lim cosh-1/h ?

h->0

2. a) Ecrire taux d'accroissement du cos en 0.

b) En utilisant les formules d'addition faire apparaitre les deux taux d'accroissement de la question 1.

[elp]

OC=cos(h)

OS=sin(h)

AT=tan(h)

aire de OAM=(1/2)MC*OA=(1/2)*sin(h)*1=(1/2)sin(h)

aire de OAT=OA*AT/2=1*tan(h)/2=(1/2)tan(h)

aire du secteur circulaire OAM=(aire du disque /2pi)*angle MOA=(pi*1²/2pi)*h=(1/2)h

si on regarde la figure, on observe que

aire OMA<aire sect OAM<aireOAT dc

(1/2)sin(h)<(1/2)h<(1/2)tan(h)

sin(h)<h<tan(h)

en divisant par sin(h) qui est positif pour t ds ]0;pi/2[

1<h/sin(h)<tan(h)/sin(h)

1<h/sin(h)<1/cos(h)

1/1>sin(h)/h>cos(h)/1 (ts les nbres ici st positifs)

cos(h)<sin(h)/h<1

si h td vers 0, cos(h) td vers 1dc sin(h)/h est compris entre un nbre qui td vers 1 d'un côté et par 1 de l'autre côté

dc on peut en déduire que sin(h)/h td vers 1 qd h td vers 0

c)difficile de répondre à cause de ( ) que je soupçonne fort de manquer

on doit comparer (1-cos(h))/h² et sin²(h)/[(1+cos(h))h²]

on fait les "produits en croix"

[1-cos(h)]*(1+cos(h))*h²=(1-cos²(h))*h²=sin²(h)*h²

h²*sin²(h)

on trouve la même chose dc

(1-cos(h))/h² = sin²(h)/[(1+cos(h))h²]

(1-cos(h))/h=h*[sin(h)/h]*[sin(h)/h]*[1/(1+cos(h)]

si h td vers 0, le 2è mbre td vers 0*1*1*[1/(1+1)]=0

(1-cos(h))/h td vers 0

2)a)

[f(b)-f(a)]/(b-a)

ici f(x)=cos(x) b=h et a=0

[cos(h)-cos(0)]/(h-0)=[cos(h)-1]/h

de même:

[sin(h)-sin(0)]/(h-0)=sin(h)/h

je ne comprends pas trop la question !

cos(h)-cos(0)=-2sin((h+0)/2)sin((h-0)/2)=-2sin(h/2)*sin(h/2)=-2sin²(h/2) ensuite ??

sin(h)-sin(0)=2sin(h/2)*cos(h/2)