Devoir De Maths

[Soaddict25]

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai un exercice de mathématiques à faire pour la rentrée, et la trigo et moi ça fait deux ( malheureusement).

Je vais donc vous réécrire ce petit exercice afin que vous puissiez m'aider si vous le pouvez.

Merci d'avance pour votre aide précieuse

Je précise que les écritures en gras dans l'énoncé, n'en font pas parties mais sont des remarques que je précise à faire, des idées à moi quoi :p

Exercice :

On considère les fonctions : f définie sur R par : f(x) = 1/( x²+1) et g définie sur I = ] - /2 ; :pi:/2 [ par g(x) = tan x

1) Rappeler les propriétés de g et son tableau de variations sur I ( J'ai traité cette question )

Voilà la réponse pour vous évitez de chercher :

Parité : impaire

Périodicité : Périodique de période

Dérivabilité : (tan)'(x) = 1 + tan²x ou 1 cos²x

2) Justifier que f admet des primitives sur R

Soit F la primitive de f sur R qui vérifie F(0)=0 (on ne cherchera pas à déterminer F(x) )

J'ai répondu que la fonction est dérivable sur son ensemble de dérivabilité, donc sur R et donc elle possède des primitives sur R

3) Soit G la fonction définit sur R par G(x) = - F(-x)

a) Justifier que G est dérivable sur R et déterminer G'(x)

b) Que peut on en déduire pour G-F ?

c) Calculer G(0)

4) On considère la fonction h définie sur I = ] -:pi:/2 ; :pi:/2[ par : h(x) = F°g(x) - x

a) Justifier que h est dérivable sur I.

b) Démontrer que pour tout x dans I : h'(x) = 0. Que peut-on en déduire pour h ?

c) En remarquant que h(0) = 0, déduire que pour tout x appartenant à I : F°g(x) = x

d) On admet que F possède une limite finie L quand x tend vers +

i) Justifier que limite de F°g(x) =L quand x tend vers :pi:/2

ii) En déduire la valeur de L, puis la limite de F en -

5) Faire le tableau de variations de F

6) Pourquoi F est-elle continue sur R

7) Démontrer que F définit une bijection entre R et I = ] - /2 ; :pi:/2 [

Merci d'avance pour votre aide.

A+

[elp]

quelques indications

2) f continue ds lR dc a des primitives

3)G(x)=-F(-x)

a) F est dérivable et la fonction qui à x associe -x aussi dc G est dérivable sur R

G'(x)=-F'(-x)*(-1)=F'(-x)=f(-x)=f(x) car f paire

b)

G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0 dc G(x)-F(x) est constante = K

c)

G(0)=-F(-0)=-0=0

G(0)-F(0)=K=0-0=0 dc G(x)=F(x) dc -F(-x)=F(x) dc F(-x)=-F(x) et F est impaire

4)ds l'intervalle I

h(x)=Fog(x)-x

a) F et g dérivables ainsi que r(x)=x dc h dérivable

b)h'(x)=F'og(x)*g'(x)-1=f(tan(x))*(1+tan²(x))-1=[1/(1+tan²(x))]*(1+tan²(x))-1=1-1=0

c)h(0)=Fog(0)-0=F(0)-0=0

h'(x)=0 dc h(x)=constante K mais comme h(0)=0 alors K=0 dc h(x)=0 et Fog(x)=x

d) si x td vers pi/2, Fog(x)=x td vers pi/2

on pose y=tan(x)

si x td vers pi/2, tan(x) td vers +00 et Fog(x) = F(y) avec y qui td vers +00; comme F(y) td vers L qd y td vers +00, alors L=pi/2

F impaire dc td vers -pi/2 si x td vers -00

5) la dérivée de F est 1/(1+x²) dc toujours positive dc F strictement croissante

6)F est dérivable ds R dc elle est continue ds R

7)F définie strictement croissante ds R et varie de -pi/2 à + pi/2 dc tu as bien la bijection de l'énoncé

[Soaddict25]

Merci beaucoup pour ton aide

[CDmath]

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