Zelda32 Posté(e) le 15 février 2009 Signaler Posté(e) le 15 février 2009 Bonjour, J'ai des petits soucis pour comprendre et avancer mon dm, donc j'aimerais un peu d'aide. On appelle E la courbe d'équation y = 1/x. On désigne par a, b , c trois réels non nuls, deux à deux distincts, puis par A,B,C les points de E d'abscisses respectives a,b,c. Le point H est l'hortocentre du triangle A,B,C. On appelle C le cercle circonscrit au triangle ABC, son centre est le point E. Le point D est le symétrique du point H par rapport à O. Le but de l'exercice est d'observer la position de certains points de la figure et d'étudier celle du point H. Tout d'abord, voilà ce que donne la figure (sans le cercle ni le point E, par contre.) : 1. a. On me demande de faire varier a,b et c et d'émettre deux conjectures concernant la position du point H, et celle du point D. J'ai un peu du mal avec le terme "conjecture", en tout cas ce que je remarque c'est que les points H et D sont toujours sur la courbe E. Est ce qu'il faut que j'en dise plus ? b. Ensuite, il faut de nouveau émettre une conjecture mais sur les ordonnées des points D et H en fonction de a, b, et c, puis une conjecture sur l'abscisse de H. Pour cette question,j'avoue que je me sens un peu coincé... Merci de votre future aide =)
E-Bahut elp Posté(e) le 16 février 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 16 février 2009 H(x,y) orth de ABC dc les produits saclaires CH.AB et BH.AC st nuls CH(x-c;y-1/c) AB(b-a;1/b-1/a) (x-c)(b-a)+(y-1/c)(1/b-1/a)=0 (x-c)(b-a)+(y-1/c)(a-b)/ab=0 comme a est diff de b, on peut diviser par (b-a) (x-c)+(1/c-y)/ab=0 ab(x-c)+(1/c-y)=0 y=1/c+ab(x-c) de même ac(x-b)+(1/b-y)=0 (on remplace b apr c et inversement) ac(x-b)+1/b-1/c-ab(x-c)=0 acx-abc+1/b-1/c-abx+abc=0 x(ac-ab)+1/b-1/c=0 ax(c-b)+(c-b)/bc=0 (on divise par c-b non nul ax+1/bc=0 ax=-1/bc x=-1/abc on remplace x par -1/abc ds y=1/c+ab(x-c) y=1/c+ab(-1/abc-c)=1/c-1/c-abc=-abc=1/x puisque x=-1/abc yh=1/xh prouve que l'orthocentre h est sur la courbe. le point O est centre de sym de la courbe dc si H est sur la courbe, son sym/o est sur la courbe dc D est sur la courbe
Zelda32 Posté(e) le 17 février 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 17 février 2009 Merci beaucoup pour cette réponse. Ce calcul prouve que H et D sont sur la courbe, mais est ce que je dois le mettre dans la question 1a ? Car on ne me demande pas de la démontrer. Par contre pour la question 1b, qu'est ce que je dois dire ?
E-Bahut elp Posté(e) le 17 février 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 17 février 2009 conjecture: présomption 1a tu te "doutes" que H et D st sur la courbe, ça a " l'air vrai " mais rien n'est certain, c'est pourquoi on te demande la démonstration plus loin. 1b il faut déjà avoir une "bonne vue" pour s'apercevoir que Yh=-abc connaissant la réponse, c'est facile de conjecturer mais pas très "honnête" ! A plus.
Proton Posté(e) le 18 février 2009 Signaler Posté(e) le 18 février 2009 En fait je crois qu'il me manque une conjecture car tout n'est pas très clair. On me demande une première fois une conjecture concernant la position des points H et D, donc qu'ils sont sur la courbe. On me demande une autre conjecture concernant les ordonnées des points D et H, donc ici je dis que Yh = -abc (donc Yd = abc ?), puis une autre conjecture sur l'abscisse de H et ici je ne sais pas de quoi il s'agit. Pour la question suivante 2, on me demande de démontrer la conjecture émise sur le ordonnées du point H, donc ici je prouve que simplement que H est sur la courbe avec la démonstration que tu m'a faite ? Et pour la dernière question, on demande de proposer une démarche qui permet de démontrer la ou les conjectures faites pour le point D (sans calculs), et j'ai trouvé ceci : D est à l'intersection de G et du cercle circonscrit à ABC. Avec la relation d'Euler GH = 2 GI, I est le barycentre de (G, 3) ; (H, −1) et I a pour coordonnées ((a+b+c +1/abc)/2 ; (1/a+1/b+1/c + abc)/2). Sachant que D a pour coordonnées (1/abc ; abc), on peut vérifier, avec GéoPlan, que vect(ID) ((a+b+c − 1/abc)/2 ; (1/a+1/b+1/c − abc)/2) est de longueur égale au rayon du cercle circonscrit. Je peux mettre ça tel quel ou il faut développer ? Merci bien.
E-Bahut elp Posté(e) le 18 février 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 18 février 2009 En fait je crois qu'il me manque une conjecture car tout n'est pas très clair. On me demande une première fois une conjecture concernant la position des points H et D, donc qu'ils sont sur la courbe. On me demande une autre conjecture concernant les ordonnées des points D et H, donc ici je dis que Yh = -abc (donc Yd = abc ?), puis une autre conjecture sur l'abscisse de H et ici je ne sais pas de quoi il s'agit. tu dis que Xh=-1/abc (mais il faut le voir !!) Pour la question suivante 2, on me demande de démontrer la conjecture émise sur le ordonnées du point H, donc ici je prouve que simplement que H est sur la courbe avec la démonstration que tu m'a faite ? oui Et pour la dernière question, on demande de proposer une démarche qui permet de démontrer la ou les conjectures faites pour le point D (sans calculs), et j'ai trouvé ceci : D est à l'intersection de G et du cercle circonscrit à ABC. Avec la relation d'Euler GH = 2 GI, I est le barycentre de (G, 3) ; (H, −1) et I a pour coordonnées ((a+b+c +1/abc)/2 ; (1/a+1/b+1/c + abc)/2). Sachant que D a pour coordonnées (1/abc ; abc), on peut vérifier, avec GéoPlan, que vect(ID) ((a+b+c − 1/abc)/2 ; (1/a+1/b+1/c − abc)/2) est de longueur égale au rayon du cercle circonscrit. Je peux mettre ça tel quel ou il faut développer ? La courbe admet l'origine O pour centre de symétrie (f(x)=1/x et f(-x)=1/-x=-1/x=-f(x) pour tout x non nul, f est impaire) Si H est sur la courbe alors son symétrique par rapport à O est aussi sur la courbe, donc D est sur la courbe Merci bien.
Zelda32 Posté(e) le 18 février 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 18 février 2009 Merci beaucoup. Et effectivement, bonne question car les questions s'arrêtent ici.
Zelda32 Posté(e) le 19 février 2009 Auteur Signaler Posté(e) le 19 février 2009 J'ai compris à quoi servent le point E &co.. =/ En fait, j'ai oublié de faire le cercle sur ma figure, qui est important puisque qu'il faut aussi conjecturer que H est sur le cercle. Une idée ?
E-Bahut elp Posté(e) le 19 février 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 19 février 2009 J'ai compris à quoi servent le point E &co.. =/ En fait, j'ai oublié de faire le cercle sur ma figure, qui est important puisque qu'il faut aussi conjecturer que H est sur le cercle. Une idée ?
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