Exercice D'intégrale

[Ronaldikev16]

Bonsoir à tous, j'ai quelques petits soucis avec un exercie de mon devoir de maths et je voudrai savoir si vous pouviez m'aider à le terminer (j'ai déjà répondu à quelques questions (voir ci-dessous)). Merci d'avance.

Voici l'énoncé :

Partie A : Etude d'une fonction.

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;+ [ par f(x) = x ln(x+1).

On appelle © sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,i,j) avec ||i|| = 2cm et ||j|| = 1,5cm.

1.a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0;+ [.

(Je pense qu'il faut montrer que la dérivée f'(x)= ln(x+1) + (x/(x+1)) est strictement positive sur [0;+ [ )

b. L'axe des abscisses est-il tangeant à la courbe © au point 0 ?

(Je pense qu'il faut montrer que T: y= f'(a) (x-a) + f(a) =0 pour a=0 )

2. On pose I= (x²/(x+1) dx (c'est-à-dire intégrale de 0 à 1 de (x²/(x+1)) dx )

a. Déterminer trois réels a,b et c tels que, pour tout x -1 : (x²/(x+1)) = ax + b + (c/(x+1))

(J'ai trouvé a=1 b=-1 et c=1 pouvez-vous me dire si j'ai bon merci)

b. Calculer I.

3. A l'aide d'une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2., calculer en cm², l'aire (A) de la partie du plan limitée par la courbe © et les droites d'équations x=0 x=1 et y=0.

Partie B : Etude d'une suite.

La suite (Un) est définie sur IN par : Un = (x^n)* ln(x+1) dx (c'est-à-dire intégrale de 0 à 1 de (x^n)* ln (x+1) dx )

1. Déterminer le sens de variation de la suite (Un). La suite (Un) converge-t-elle ?

2. Déterminer que pour tout entier naturel n non nul : 0 Un ( (ln2)/(n+1) ).

En déduire la limite de la suite (Un).

Merci de m'avoir lu et de me répondre.

Cordialement,

Kévin.

[Ronaldikev16]

Bonsoir à tous, j'ai quelques petits soucis avec un exercie de mon devoir de maths et je voudrai savoir si vous pouviez m'aider à le terminer (j'ai déjà répondu à quelques questions (voir ci-dessous)). Merci d'avance.

Voici l'énoncé :

Partie A : Etude d'une fonction.

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0;+ [ par f(x) = x ln(x+1).

On appelle © sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,i,j) avec ||i|| = 2cm et ||j|| = 1,5cm.

1.a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0;+ [.

(Je pense qu'il faut montrer que la dérivée f'(x)= ln(x+1) + (x/(x+1)) est strictement positive sur [0;+ [ )

b. L'axe des abscisses est-il tangeant à la courbe © au point 0 ?

(Je pense qu'il faut montrer que T: y= f'(a) (x-a) + f(a) =0 pour a=0 )

2. On pose I= (x²/(x+1) dx (c'est-à-dire intégrale de 0 à 1 de (x²/(x+1)) dx )

a. Déterminer trois réels a,b et c tels que, pour tout x -1 : (x²/(x+1)) = ax + b + (c/(x+1))

(J'ai trouvé a=1 b=-1 et c=1 pouvez-vous me dire si j'ai bon merci)

b. Calculer I.

3. A l'aide d'une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2., calculer en cm², l'aire (A) de la partie du plan limitée par la courbe © et les droites d'équations x=0 x=1 et y=0.

Partie B : Etude d'une suite.

La suite (Un) est définie sur IN par : Un = (x^n)* ln(x+1) dx (c'est-à-dire intégrale de 0 à 1 de (x^n)* ln (x+1) dx )

1. Déterminer le sens de variation de la suite (Un). La suite (Un) converge-t-elle ?

2. Déterminer que pour tout entier naturel n non nul : 0 Un ( (ln2)/(n+1) ).

En déduire la limite de la suite (Un).

Merci de m'avoir lu et de me répondre.

Cordialement,

Kévin.

[elp]

J’espère que tu comprendras ce que j’ai écrit à propos des intégrales, difficile de rédiger sans les symboles habituelsSoit f la fonction définie sur l'intervalle [0;+ [ par f(x) = x ln(x+1).

On appelle © sa courbe représentative dans un repère orthogonal (O,i,j) avec ||i|| = 2cm et ||j|| = 1,5cm.

1.a. Montrer que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [0;+ [.

(Je pense qu'il faut montrer que la dérivée f'(x)= ln(x+1) + (x/(x+1)) est strictement positive sur [0;+ [ )

Ok ; x=>0 dc x+1>=1 dc ln(x+1) >0 et x/(x+1) aussi dc f’ >=0 et f croissante

b. L'axe des abscisses est-il tangeant à la courbe © au point 0 ?

(Je pense qu'il faut montrer que T: y= f'(a) (x-a) + f(a) =0 pour a=0 )

Ok

y-f(0)=f’(0)(x-0)

y-0=0(x-0) dc y=0 et c’est l’axe des abscisses

2. On pose I= (x²/(x+1) dx (c'est-à-dire intégrale de 0 à 1 de (x²/(x+1)) dx )

a. Déterminer trois réels a,b et c tels que, pour tout x -1 : (x²/(x+1)) = ax + b + (c/(x+1))

(J'ai trouvé a=1 b=-1 et c=1 pouvez-vous me dire si j'ai bon merci)

C’est bon

b. Calculer I.

on utilise la décomposition trouvée avant

int de x²/(x+1)=int de xdx –int(-1)dx+int 1/(x+1) (nb : x+1>0 pour x entre 0 et 1)

x²/2-x+ln(x+1) entre 0 et 1=1/2-1+ln(2)=ln(2)-1/2

3. A l'aide d'une intégration par parties et du résultat obtenu à la question 2., calculer en cm², l'aire (A) de la partie du plan limitée par la courbe © et les droites d'équations x=0 x=1 et y=0.

Int xln(x+1)

On pose :

x=u’ et ln(x+1)=v

u=x²/2 et v’=1/(x+1)

l’int est dc( x²/2)*ln(x+1) entre 0 et 1-int( (x²/2)*1/(x+1) entre 0 et1=1/2-1/2*[ln(2)-1/2]=

(ln(2)/2)-ln(2)/2+1/4=1/4

En cm² : (1/4)*2*1.5 =3/4 de cm²

Partie B : Etude d'une suite.

La suite (Un) est définie sur IN par : Un = (x^n)* ln(x+1) dx (c'est-à-dire intégrale de 0 à 1 de (x^n)* ln (x+1) dx )

1. Déterminer le sens de variation de la suite (Un). La suite (Un) converge-t-elle ?

x est entre 0 et 1 dc x^n>x^(n+1) et ln(x+1) positif

X^n*ln(x+1)>x^(n+1)*ln(x+1) et comme 1>0 (les bornes de l'int) alors U(n)>U(n+1) et U est décroissante

X^n*ln(x+1) est > si x entre 0 et 1 dc u(n) positive

U décroissante minorée par 0 est dc convergente2. Déterminer que pour tout entier naturel n non nul : 0 Un ( (ln2)/(n+1) ).

En déduire la limite de la suite (Un).

U(n)>=0 vu au dessus

En intégrant par parties

En posant f’=x^n et g=ln(x+1)

U(n)=[(x^(n+1)/(n+1))*ln(x+1)] entre 0 et1-int de 0 à 1 de x^(n+1)/(n+1)*(x+1)=

[(1/(n+1))*ln(2)]- int de 0 à 1 de x^(n+1)/(n+1)*(x+1) [(1/(n+1))*ln(2)] car l’int qu’on retire est >=0

On a dc bien 0>=u(n)>=ln(2)/(n+1)

Si n td vers +00 ; ln(2)/(n+1) td vers 0 et u(n) td vers 0 (th des gendarmes)

[Ronaldikev16]

Bonsoir,

Tout d'abord, merci de votre aide et oui ne vous en faites pas j'arrive à vous comprendre sans les symboles habituels.

Bonne soirée et peut-être à bientôt.

Cordialement,

Kévin.