Logarythme Pour Ce Soir :$ Terminale S

[alex1207]

on considère la fonction f définie par f(x) = x^x. C sa courbe représentative dans un repère orthogonal ( O;I;J )

1- déterminer Df

l'ensemble de définition de la fonction f

2- étudier les limites de f aux bornes de Df

3- étudier la dérivabilité de la fonction f en 0 définie sur [ 0; +oo [par:

x^x, si x=/= de 0

f(x)= 1, sinon

quelle interprétation graphique peut on faire de ce résultat à propos de C ?

4- étudier les variations de la fonction f sur Df

Besoin d'aide je suis bloqué, je vous remercie d'avance

[Tryo]

x^x n'a du sens que si x est positif strictement on peut alors l'écrire : x^x = exp(x*ln(x))

Donc ensemble de définition : ]0;+infini[

Quand x tend vers +infini , le logarithme tend vers +infini et x aussi. De même, quand X tend vers +infini exp(X) tend vers l'infini. Donc la limite en +infini c'est +infini

En revanche quand x tend vers 0, tu dois savoir que le logarithme tend vers -infini et x lui tend vers 0 justement. Mais par comparaison des fonctions x et ln(x) on sait que le produit x*ln(x) tend vers 0. Donc ta fonction tend vers exp(0) = 1

On calcule le taux d'accroissement en 0 et on voit si il tend vers une valeur finie :

Delta(h) = [ exp(h*ln(h) - exp(0) ] / h

Je te laisse trouver la limite quand h tend vers 0

Pour l'étude de fonction il suffit d'utiliser la dérivation de fonctions composées que tu as dans ton cours.

[elp]

Je compléte la réponse précédente

je suppose que l'on t'a défini x^x par e^(xln(x)) donc il faut x>0 ?

D=]0,+00[

si x td vers 0, xln(x) td vers 0 et e^xln(x)) td vers 1

si x td vers +00, xln(x) td vers +00 et la lim est +00

on a posé x^x=1 qd x=0 dc comme x^x td vers 1 qd x td vers 0, la f est continue

dérivée en 0:

lim qd h td vers 0 de (f(0+h)-f(0))/h=(f(h)-1)/h

f(h)=(e^(hln(h))-1)/h=[(e^(hln(h))-1)/(hln(h)]*ln(h)=

[(e^(hln(h))-1)-e^0]/[(hln(h)-0]*ln(h)

qd h td vers 0, hlnh td vers 0 et la lim de

[(e^(hln(h))-1)-e^0]/[(hln(h)-0] est la dérivée en 0 de e^hlnh dc 1

la lim cherchée est dc celle de lnh dc -00 dc pas dérivable en 0

tgte verticale au point(0,1)

f(x)=e^xln(x)

dérivée de e^u est u' *e^u

u(x)=xln(x) dc u'(x)=1*ln(x)+x*(1/x)=ln(x)+1

f'(x)=[ln(x)+1]*e^xln(x)

f'(x) est dc du signe de ln(x)+1

ln(x)+1=0

ln(x)=-1 qd x=e^(-1)

ln(x)+1>0 ssi x>e^(-1) et f croissante

ln(x)+1<0 ssi x<e^(-1) et f décroissante

min atteint qd x=e^(-1)

[alex1207]

Merci beaucoup de votre aide!