Exercice D'entrainement

[Dub]

Le plan complexe est rapporté a un repereorthonormal direct (O:u:v) (unité 6cm)

on considere la transformation f du plan qui a tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' definie par z'=z*e^(5iPI/6) et on definit une suite de point (M_n) de cette facon z(0)=z*e^(iPI/2) et M(n+1)=f(M(n)) on appelle z(n) l'affixe de Mn

1) determiner la nature et les élement caracteristique de f. Placer M(0) , M(1) et M(2)

2) montrer que pour tout n de N on a z(n)=e^i(PI/2 + (5nPI)/6)

3) soit 2 entier n et p tels que n p , montrer que M(n) et M(p) sont confondu si et seulement si , (n-p) est multiple de 12.

4)a) on considere (E) : 12x-5y=3 où x et y sont entier relatifs . Après avoir verifie que le couple (4;9) et solution , resoudre l'equation (E)

b) en deduire l'ensemble des entier n tels que M(n) appartienne a [Ox)

Merci de m'aider a le resoudre j'avoue que je suis dans la vague

Merci d'avance

[elp]

la transformation est la rotation de centre O et d'angle 5pi/6

z(0)=e^ipi/2

z(1)=z(0)*e^i5pi/6=e^i(pi/2+5pi/6)

z(2)=z(1)*e^i5pi/6=e^i(pi/2+5pi/6+5pi/6)

à chaque fois, l'argument augmente de 5pi/6, (suite arithmétique de raison 5pi/6)

z(n)=e^i(pi/2+n*5pi/6)

M(n) et M(p) sont confondus ssi (pi/2+n*5pi/6)-(pi/2+p*5pi/6)=2kpi (k entier)

ssi

(5pi/6)(n-p)=2kpi

ssi

(5/6)(n-p)=2k

ssi

5(n-p)=12k

12 divise 5(n-p) mais 12 est premier avec 5 dc 12 divise n-p; n-p est multiple de 12

et si n-p est multiple de 12 en remontant les calculs on aura M(n) et M(p) confondus

12x-5y=3

12*4-5*9=3

en soustrayant membre à membre

12(x-4)-5(y-9)=0

12(x-4)=5(y-9)

y-9 est dc divisible par 12

y-9=12*k (k entier)

y=12k+9

12x=5y+3=60k+45+3=60k+48

x=5k+4

solutions de la forme x=5k+4, y=12k+9

M(n) sur Ox ssi arg M(n)=2kpi (k entier)

pi/2+n*5pi/6=2kpi

6pi/12+10npi/12=24kpi/12

6pi+10npi=24kpi

6+10n=24k

3+5n=12k

12k-5n=3

on retrouve l'équation d'avant

n de la forme 12*r+9 (r entier)