Ts Continuité Tangente Derivées

[Nelly-y]

voilà c'est l'exo 2 sur la continuité de mon dm de maths c'est la grosse galere les deux premiers exos impecables mais la trou noir je sais c'est du cours pour la majorité mais est ce que j'pourrais toute fois être aider s'il vous plait :/

[elp]

f(x)=(x²/2)(ln(x)-3/2) si x non nul et f(0)=0

il faut calculer lim de (x²/2)(ln(x)-3/2) qd x td vers 0; si on trouve 0 alors c'est que la f est continue en puisque l'on a posé f(0)=0

si x td vers 0, ln(x) td vers -00, x² td vers 0 et on a une forme indéterminée.

f(x)=(x/2)*x*ln(x)-3x²/4

d'après le cours xln(x) td vers 0 qd x td vers 0 dc (x/2)xln(x) td vers 0 et f(x) td vers 0

f est dc continue en 0 (ds l'énoncé, on a prolongé f par continuité, on a choisi de poser f(0)=0 pour avoir une f continue en 0)

on cherche lim qd h td vers 0 de [f(x+h)-f(x)]/h avec x=0

[(h²/2)(ln(h)-3/2)-f(0)]/h=(h/2)ln(h)-3/4h

qd h td vers 0, le 1er terme td vers 0 mais le 2è td vers 00 dc f pas dérivable en 0

(uv)'=u'v+uv'

f'(x)=x(ln(x)-3/2)+(x²/2)(1/x)=xln(x)-3x/2+x/2=xln(x)-x=x(ln(x)-1)

ds ]0;+00[: x est positif dc il reste à étudier le signe de ln(x)-1

si x <e, ln(x)<1 et f' <0 dc f décroit

si x>e, ln(x)>1 et f'>0 dc f croit

tgte au point d'abscisse 1

f'(1)=1(ln(1)-1)=-1

f(1)=-3/4

y-f(a)=f'(a)(x-a)

y-(-3/4)=-1(x-1)

y=-x+1-3/4=-x+1/4

courbe C au dessus de sa tgte > f(x)-(-x+1/4)>0

f(x)+x-1/4 >0

h(x)=f(x)+x-1/4

h'(x)=f'(x)+1=xln(x)-x+1

h''(x)=ln(x)+x*(1/x)-1+0=ln(x)

A partir d'ici, il faut faire un tableau de variations pour bien comprendre

0<x<1 => h''(x) <0 dc h' décroit

h''(1)=0 h' atteint son min qui est h'(1)=1ln(1)-1+1=0

1<x => h''(x) >0 dc h' croit

0<x<1 h' positif (car décroit vers 0) et h croit

x=1 h'(1)=0

x>1 h' positif d h croit

h croit qd x<1 et atteint 0 en x=1 dc h est négatif qd x<1 puis positif qd x>1

courbe ss la tgte si x<1 puis au dessus

[Nelly-y]

Merci beaucoup je regarde ça demain matin et eventuellement poser des questions

[Nelly-y]

Ouai en fait je comprends pas trop cette partie :

ds ]0;+00[: x est positif dc il reste à étudier le signe de ln(x)-1

si x <e, ln(x)<1 et f' <0 dc f décroit

si x>e, ln(x)>1 et f'>0 dc f croit

Qu'est ce que e vient faire là ? :/

[elp]

Ouai en fait je comprends pas trop cette partie :

ds ]0;+00[: x est positif dc il reste à étudier le signe de ln(x)-1

si x <e, ln(x)<1 et f' <0 dc f décroit

si x>e, ln(x)>1 et f'>0 dc f croit

Qu'est ce que e vient faire là ? :/