Exo Sur Les Complexes

[nasridu62]

slt a tous voila j'ai un pti exo de complexes auquel je n'arrive a rien si voulez bien m'aidez a le resoudre sa serait vrément sympa.

Voila l'enoncé:

1°) Démontrer que cos = (ei +e-i )/2.

2°) On considère dans C les complexes z1 et z2 de module 1 et d'arguments alpha et .

Démontrer que (z1+z2)²/(z1z2) est un réel positif ou nul.

Voila c tout j'apprécierais bocoup votre l'aide.

[elp]

e^(i@)=cos@+isin@

e^(-i@)=cos(-@)+1sin(-@)=cos(@)-isin(@)

en ajoutant membres à memebres:

e^(i@)+e^(-i@)=2cos(@)

et en divisant par 2, on a le résultat demandé.

(z1+z2)²/(z1*z2)=(z²1+2z1z2+z²2)/(z1z2)=(z1/z2)+2+(z2/z1)

soit z1=e^(ia) et z2=e^(ib) (car modules de z1=module de z2=1=

z1/z2=e^(ia-ib) et z2/z1= e^(ib-ia)

on utilise le résultat démontré au début

z1/z2+z2/z1=e^(ia-ib)+ e^(ib-ia)=2cos(a-b)

(z1+z2)²/(z1*z2)=2+2cos(a-b) dc >=0 car cos(a-b) compris entre -1 et+1