Nigel Marven Posté(e) le 21 janvier 2009 Signaler Posté(e) le 21 janvier 2009 Bonjour à tous, voilà petit et même gros blocage sur un exo de mon DM. Si quelqu'un veut bien m'aider, je vous l'expose ci-contre: Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct(O;u;v) unité graphique 1 cm. A,B et C désignent les points d'affixes respectives: a= -2 3 , b= 3-3i et c=2i 1.a. Ecrire b sous forme exponentielle. b. Placer le point C dans le repère ci-dessus et construire à la règle et au compas le point B puis le point A. 2. On désigne par E le barycentre du système (A;1)(C;3) et par F le barycentre du système (A;2)(B;1). a. Etablir que l'affixe e du point E est égale à (- 3/2)+(3/2)i b. Déterminer l'affixe f du point F. 3.a. Démontrer que le quotient (e-c)/(e-b) est un nombre imaginaire pur. En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur la figure. b. Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer le point F sur la figure 4. On désigne par H le barycentre du système (A;2)(B;1)(C;6) Démontrer que le point H est le point d'intersection des droites (BE) et (CF). Qu'en déduit-on pour le point H? Voilà, si vous pouviez détailler les étapes les plus difficiles ce serait gentil. Merci beaucoup
E-Bahut Barbidoux Posté(e) le 21 janvier 2009 E-Bahut Signaler Posté(e) le 21 janvier 2009 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct(O;u;v) unité graphique 1 cm. A,B et C désignent les points d'affixes respectives: a= -2 3 , b= 3-3i et c=2*i 1.a. Écrire b sous forme exponentielle. ----------------------------------- a=2* 3 exp(i*Pi) b=2* 3*(1/2- i* 3/2)=2* 3*(Cos(Pi/6)-i*Sin(Pi/6)=2* 3*exp(1*Pi/6) ----------------------------------- b. Placer le point C dans le repère ci-dessus et construire à la règle et au compas le point B puis le point A. ---------------------------------- ---------------------------------- 2. On désigne par E le barycentre du système (A;1)(C;3) et par F le barycentre du système (A;2)(B;1). ---------------------------------- EA+3*EC=0 2*FA+FB=0 ---------------------------------- a. Établir que l'affixe e du point E est égale à (- 3/2)+(3/2)i ---------------------------------- EA+3*EC=0 ==> EO+OA+3*EO+3*OC=0 ==> 4*OE=OA+3*OC ==> e=(a+3*c)/4=(-2* 3+6*i)/4 ==> e=- 3/2+(3/2)*i ---------------------------------- b. Déterminer l'affixe f du point F. ---------------------------------- 2*FA+FB=0 ==> 2*FO+2*OA+FO+OB=0 ==> 3*OF=2*OA+OB ==> f=(2*a+b)/3=(- 4* 3+ 3-3*i)/3 ==> f=- 3 -i ---------------------------------- 3.a. Démontrer que le quotient (e-c)/(e-b) est un nombre imaginaire pur. ---------------------------------- (e-c)/(e-b)=(- 3/2+(3/2)*i-2*i)/(- 3/2+(3/2)*i- 3/2+3*i) =(- 3+3*i-4*i)/(- 3+3*i-2 * 3+6*i) =(- 3-i)/(- 3* 3+9*i)=(1/3)*(- 3-i)/(- 3+3*i) =(1/3)*(- 3-i)*(- 3-3*i)/((- 3+3*i)*(- 3-3*i)) =(1/3)*(- 3-i)*(- 3-3*i)/((- 3+3*i)*(- 3-3*i)) =-i* 3/9 ---------------------------------- En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. ---------------------------------- Le point E appartient à AC. Le vecteur EC d’affixe e-c à pour coefficient directeur 1/ 3, le vecteur EB d’affixe e-c à pour coefficient directeur -3/ 3, le produit de ces coefficients directeurs valant -1 il sont donc perpendiculaires et E est le pied de la hauteur issue de B dans le triangle ABC. ---------------------------------- Placer le point E sur la figure. ---------------------------------- Voir figure ---------------------------------- b. Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer le point F sur la figure ---------------------------------- On démontrerait de même que (f-c)/(f-b) =(- 3-3*i) /(2*( 3+ i)) est un imaginaire pur . Le vecteur FC d’affixe f-c à pour coefficient directeur 3/ 3, le vecteur FB d’affixe f-b à pour coefficient directeur 1/ 3, le produit de ces coefficients directeurs valant -1 il sont donc perpendiculaires et F qui appartient à AB est le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. ---------------------------------- 4. On désigne par H le barycentre du système (A;2)(B;1)(C;6) Démontrer que le point H est le point d'intersection des droites (BE) et (CF). ---------------------------------- question 2 EA+3*EC=0 2*FA+FB=0 H le barycentre du système (A;2)(B;1)(C;6) ==> 2*HA+HB+6*HC=0 ==> 2*HF+2*FA+HF+FB+6*HC=0 ==>3*HF+6*HC=0 ==> H appartient à FC ------------- 2*HA+HB+6*HC=0 ==> 2*HE+2*EA+HB+6*HE+6*EC=0 ==> 8*HE+HB=0 ==> H appartient à EB et H est le point d’intersection de FC et EB ---------------------------------- Qu'en déduit-on pour le point H? ---------------------------------- C’est l’orthocentre du triangle ABC A vérifier.........
Messages recommandés
Archivé
Ce sujet est désormais archivé et ne peut plus recevoir de nouvelles réponses.