Exercice Avec La Fonction Exponentielle

[Chewing-gum]

Bonjour, je dois faire cet exercice mais je bloque complètement. Merci de m'aider svp.

Voici l'énoncé:

http://img210.imageshack.us/my.php?image=img073wz2.jpg

[Barbidoux]

1a-------------------

M{m, exp(m)}

N{m,exp(-m)}

I{m, (exp(m)+exp(-m))/2} soit I{,m, Cosh(m)}

on pose x=m et le lieu de I est le graphe de la fonction g(x)=Cosh(x)= (exp(x)+exp(-x))/2 lorsque m décrit R.

2----------------------

f(x)=(exp(x)+exp(-x))/2 =Cosh(x)

f’(x)=(exp(x)-exp(-x))/2= Sinh(x)

.........................................0...................................

f’(x)............(-)...................(0)...............(+).............

f(x)........decrois...............Min..........crois...............

3-----------------------

Tangente à C1 en m

y1=exp(m)*(x-m+1)

Tangente à C2 en m

y2=-exp(-m)*(x-m-1)

Coordonnées de l’intersection des deux tangentes

exp(m)*(x-m+1)=-exp(-m)*(x-m-1) ==>exp(2*m)*(x-m+1)=-(x-m-1)

exp(2*m)*(x-m+1)+(x-m-1) =0

exp(2*m)*(x-m)+exp(2*m)+(x-m)-1=0

(x-m)*(exp(2*m)+1+exp(2*m)-1=0

x₀=m-(exp(2*m)-1)/(exp(2*m)+1)=m-Sinh(m)/(Cosh(m))

x₀=m-(exp(m)-exp(-m))/(exp(m)+exp(-m))=m-Sinh(m)/(Cosh(m))

on porte cette valeur dans y1

y₀=exp(m)*(m-Sinh(m)/(Cosh(m)-m+1)

y₀=exp(m)*(-Sinh(m)/(Cosh(m)+1)

y₀=exp(m)*exp(-m)/Cosh(m)=1/Cosh(m)

----------------------------

Equation de la tangente à Gamma en m

y3=Sinh(m)*(x-m)+Cosh(m)

Les coordonnées x₀ et y₀ du point P vérifient l’équation de y3 :

y3=Sinh(m)*(m-Sinh(m)/(Cosh(m))-m)+Cosh(m)=-Sinh(m)^2 /(Cosh(m)+Cosh(m)=(Cosh(m)^2-Sinh(m)^2)/Cosh(m)=1/Cosh(m)

donc le point P appartient aussi à y3 et la droite IP et bien tangente à Gamma

A vérifier.......

[Chewing-gum]

Merci. Par contre je ne comprends pas comment vous faite pour en déduire des cos ou des sin à partir de l'exp? Merci de m'expliquer svp.

g(x)=Cosh(x)= (exp(x)+exp(-x))/2 par exemple ici, et pourquoi pas cos(x) au lieu de cosh(x)?

[Barbidoux]

Ce ne sont pas les fonctions Cosinus (Cos) ou Sinus (Sin) mais des cosinus hyperboliques (Cosh) et sinus hyperboliques (Sinh). Si tu n'as pas vu ces fonctions il te suffit de les remplacer par les fonction exponentielles correspondantes :

Cosh(x)=(exp(x)+exp(-x))/2

Sinh(x)=(exp(x)-exp(-x))/2

mais cela n'allégera pas les calculs...

[Proton]

Non je n'ai pas encore vu ces fonctions. Merci. Une petite question encore je fais mon tableau de variation de -oo à +oo?

[Barbidoux]

Non je n'ai pas encore vu ces fonctions. Merci. Une petite question encore je fais mon tableau de variation de -oo à +oo?

[Chewing-gum]

Merci et Joyeux Noel!

[Chewing-gum]

Bonjour, j'ai un petit problème, je trouve f’(x)=(exp(x)-exp(-x))/2

[Chewing-gum]

Oups , je trouve f'(x)=(exp(x)+exp(-x))/2

[Barbidoux]

Oups , je trouve f'(x)=(exp(x)+exp(-x))/2

[Chewing-gum]

Ah oui merci bien!!! Et sinon pouvez vous m'expliquer comment vous avez trouvé le tableau de variation svp? exp(x)>0 , 2>0, donc je fais le tableau de variation suivant -exp(-x) ?? Mais je ne vois pas comment trouver son signe! merci de m'expliquer svp!

[Chewing-gum]

Et sinon pour la dernière question mon prof m'a dit d'utiliser les coefficients direceteurs mais je ne vois pas comment il faut faire. Pouvez vous m'aider svp?

Merci

[Barbidoux]

------------------------

f(x)=(exp(x)+exp(-x))/2 =Cosh(x)

f’(x)=(exp(x)-exp(-x))/2= Sinh(x)

pour x=0 f’(x)=0

lorsque x->

f’(x)=(exp(x)-exp(-x))/2=( - 0)/2 ->

lorsque x-> -

f’(x)=(exp(x)-exp(-x))/2=( 0- )/2 -> -

.........................................0...................................

f’(x). - .........(-)...........(0).............(+)............ -

f(x) ........decrois........Min..........crois............. -

-------------------------

Expression de la tangente en x₀ au graphe de f(x)

y=f’(x₀)*(x-x₀)+f(x₀)

Tangente à C1 en m

y1=exp(m)*(x-m+1)

Tangente à C2 en m

y2=-exp(-m)*(x-m-1)

ensuite on détermine le point d’intersection des deux tangentes, en écrivant qu’en ce point y1=y2 ce qui permet de déterminer les coordonnées de P.

On vérifie ensuite que ces coordonnées vérifient l’équation de la tangente à Gamma en m

y3=(exp(m)-exp(-m))*(x-m)/2+(exp(m)+exp(-m))/2

ce qui montre que P est aussi sur y3. Il est possible qu’il y ait une autre méthode... Mais celle-ci me semble tout à fait correcte

[Chewing-gum]

Ah d'accord , merci bien! Mais j'ai encore une petite question, d'où viennent le m+1 et le m-1 dans ces équations? J'ai regardé sur le dessin mais je ne vois pas le rapport!

Tangente à C1 en m

y1=exp(m)*(x-m+1)

Tangente à C2 en m

y2=-exp(-m)*(x-m-1)

[Barbidoux]

Ah d'accord , merci bien! Mais j'ai encore une petite question, d'où viennent le m+1 et le m-1 dans ces équations? J'ai regardé sur le dessin mais je ne vois pas le rapport!

Tangente à C1 en m

y1=exp(m)*(x-m+1)

Tangente à C2 en m

y2=-exp(-m)*(x-m-1)

[Chewing-gum]

Ah d'accord! Merci bien