Dm De Math Pour Vandredi HaÏ Au Secour Ji Arrive Pas

[ju59]

bjr j'aimerait avoir de l'aide sur ce DM pk je ni arrive vrément pas (trop dur...)merci d'avance a tous les personne qui pourran me répondre!! ce Dm est a rendre vendredi haï!!

On considère la droite d passant par le point A(2 ; 1 ; -3) dirigée par le vecteur u(0;-1;1)et le point B(5 ; 0 ; -2).

1. Démontrer que le point B n'appartient pas à d.

L'objectif est de calculer la distance de B à d.

2. M est un point de d et k le réel tel que AM= ku.

Exprimer les coordonnées (x ; y ; z) du point M en fonction de k.

3. Calculer la distance BM² en fonction de k.

4. Déterminer le réel k pour lequel le réel BM est minimal (BM est alors la distance de B à d).

5. On suppose dans cette question que M est le point pour lequel la distance BM est minimale.

Démontrer que AMB est rectangle en M et donc que les droites (BM) et d sont perpendiculaires (M est le

projeté orthogonal de B sur la droite d).

[elp]

AB(3,-1,1) et u(0,-1,1) dc ces 2 vecteurs ne sont pas colinéaires et B n'est pa sur la droite (D)

AM(x-2,y-1,z+3)

ku(0,-k,k)

M sur (D) ssi AM et u colinéaires dc ssi AM=ku

x-2=0

y-1=-k

z+3=k

on a dc: x=2

y=1-k

z=k-3

BM(x-5,y-0,z+2)=BM(-3,1-k,k-1)

BM²=9+(1-k)²+(k-1)²=9+2k²-4k+2=2k²-4k+11

BM=rac(2k²-4k+11)

soit f(k)=rac(2k²-4k+11)

f'(k)=(4k-4)/2rac(2k²-4k+11)

le déno est pos

f'(k) est du signe de 4k-4 dc

f'(k)<0 si k<1 (et f décroit)

f'(k)=0 si k=1

f'(k)>0 si k>1 (et f croit)

le minde f est dc atteint en k=1

avec k=1, on a M(2,0,-2) puis BM(-3,0,0)

AM=ku=1u dc AM(0,-1,1)

le produit scalaire AM.BM est nul et on a (AM) perp à (BM)....

[ju59]

merci pour ton aide mais je comprend pas comment tu fait pour la question 2) peut tu m'expliquer stp

[elp]

M(x,y,z) et A(2,1,-3) dc:

AM(x-2,y-1,z+3)

ku(0,-k,k) car u(0,-1,1)

AM=ku ssi leurs coordonnées st égales dc ssi:

x-2=0

y-1=-k

z+3=k

on en déduit que x=2, y=1-k et z=k-3 et:

M(2,1-k,k-3)

[ju59]

ah ok je te remerci beaucoup et serait tu mexpliquer comment tu fait pour la 4) avec F(k)

je ne comprend pas a partir de la f'(k)=(4k-4)/2rac(2k²-4k+11)

merci

[elp]

BM=rac(2k²-4k+11)

(remarque BM²=9+(1-k)²+(k-1)², c'est une somme de carrés dc c'est positif et rac(2k²-4k+11) existe bien)

BM dépend de k, c'est une fonction de k

soit f(k)=rac(2k²-4k+11)

je calcule la dérivée f'(k) pour trouver s'il existe un minimum pour f(k)