Les Dérivées

[nakatsu]

Besoin d'aide pour un exercice s'il vous plaît.

EXERCICE1:

1°Démontrer que pour tout x appartient [0;+infini[ ,on a sin x < x.

2°En déduire que pour tout x appartient [0;+infini[ : (1-x²/2) < cos x < 1.

3°En déduire par un même raisonnement que,pour tout x appartient [0;+infini[ :

x- [(x au cube)/6] < sin x < x.

Merci d'avance!!

[elp]

a)

on considère f(x)=sin(x)-x

f'(x)=cos(x)-1 dc pour tout x del'intervalle I= [0,+00[

on a f'(x) est <=0 (car cos(x)<=1)

f est dc décroissante ds l'intervalle I

f(0)=0 dc f(x)<=0 pour tt x de I et on a bien sin(x)<=x

b)

on considère g(x)=1-x²/2-cos(x)

g'(x)=0-x+sin(x)=f(x) du a) dc g'(x)<=0 ds I

g est dc décroissante ds I

g(0)=0 dc g(x)<=0 et dc 1-x²/2<=cos(x) et comme cos(x)<=1 on a bien l'inégalité demandée.

c)

soit h(x)=x-x^3/6-sin(x)

h'(x)=1-x²/2-cos(x)=g(x) du b)

h'(x) <=0 dc h décroissante

h(0)=0 dc h(x)<=0 dc x-x^3/6<=sin(x) qui est d'après le a) <=x dc on a fini !