Barycentre Et Lieu Geometrique

[bibioule]

Bonjour je n'arrive pas a faire cet exercice.Merci d'avance pour l'aide.

I.Construction de la figure avec geoplan

1.Créer un paramètre m variant dans l'intervalle [-5;5]

2.Créer le pilotage au clavier pour le paramètre m.

3.Afficher la valeur de m

4.Créer des points A,B et C et tracer le triangle ABC.

5.Créer le point G_m barycentre de (A.1) (B;m) et (C;1-m).(le noter G car une seule lettre est acceptée)

II.Conjecture et démonstration

1.a)Lorsque m=0 ou semble être le point G₀?Prouver la reponse.

b)Lorsque m=1, les droites (G_-1C) et ( AB) semblent être paralleles.Le démontrer

c)Lorsque m appartient a l'intervalle [0;1] ou semblent être le point G_m?

2.Pour faire apparaitre le lieu géometrique de G_m,cliquer sur afficher puis sélection/trace.

Mettre en surbrillance la ligne du point G puis taper ok.Cliquer sur afficher mode trace (bascule).En déplacant le point G,apparait la ligne sur laquelle se deplace le point G_m.

G_m semble se deplacer sur une droite fixe (d).

Pour le prouver , vous choisirez une des deux methodes suivantes:

1ere methode:on peut montrer que les vecteurs G_mG₀ et BC sont colineaires.Pour cela on pourra partir de la definition du point G_m et utiliser la relation de chasles avec le point G₀

2eme methode:on peut calculer les coordonnées de G_m dans le repere (A;vecteurAB,vecteurAC)

a.Quelles sont les coordonnées de B et C dans ce repere?

b.Démontrer que G_m a pour coordonnées x=m/2 et y=1/2-m/2

c.En deduire que l'ensemble (d) des points G_m est la droite equation y= -x+1/2 dans le repere (A,vecteurAB,vecteurAC)

[elp]

si m=0, G bary de (A,1) (B,0) (C,1) dc c'est le milieu de [AC]

si m=-1, GA-GB+2GC=0

GA-(GA+AB)=-2GC

-AB=-2GC

AB=2GC

AB et GC st colinéaires dc (GC)//(AB)

2ème partie

j'écris G pour Gm et K pour Go

Go =K= le milieu de [AC] et KA+KC=0

GA+mGB+(1-m)GC=0

GK+KA+m(GK+KB)+(1-m)(GK+KC)=0

GK+KA+mGK+mKB+GK+KC-mGK-mKC=0

2GK+mKB-mKC=0

2GK+m(KB+CK)=0

2GK+m(CB)=0

2GK=mBC

GK=(m/2)BC dc (GK)//(BC) (si m non nul)

avec les coordonnées

A(0,0) B(1,0) et C(0,1)

soient x et y les coord de Gm

GA(-x,-y) GB(1-x,-y) et GC(-x,1-y)

GA+mGB+(1-m)GC=0 donne

-x+m(1-x)+(1-m)(-x)=0 dc x=m/2

-y+m(-y)+(1-m)(1-y)=0 dc y=(1-m)/2=1/2-m/2 dc y=1/2-x/2