Gros Exo Sur Les Equa Diff

[hollywood]

slt a tous, voila j'ai un gros exo sur les equations differentielle et là je patoge completement. Voila l'enoncé:

Partie A:

On considere (E) l'equation differentielle definie par:

y'+1/2y = 20e^(-t/2) et y(0) = 10 où (t) est la temperature (en degrès celsius) d'une réaction chimique au bout de t heures.

On admet que ce probleme possede une solution f definie sur [0;+ [.

Afin d'obtenir une approximation de la courbe representative de la fonction f, on utilise la methode itérative d'Euler avec un pas egal à 0,05. On obtient ainsi une suite de points notés (M_n), d'abscisse t_n et d'ordonné y_n.

1°). Justifier que t₀ = 0 et pour tout entier naturel n ,t_n+1 = t_n+0,05 ;

y₀ = 10 et pour tout entier naturel n ,y_n+1 = 0,975y_n + e^(-1/2)t_n.

Partie C: Resolution de (E).

1°). Verifier que la fonction f(t) = (20t + 10)e^(-t/2) est solution de (E).

2°). a°) On souhaite montrer que f est l'unique solution de (E) qui prend la valeur 10 à l'instant t = 0.

Soit g une solution de (E) definie sur [0;+ [ verifiant g(0) = 10.

Demontrer que la fonction g-f est solution sur [0;+ [ de l'equation differentielle (E') : y' + (1/2)y = 0.

b°) Resoudre l'equation differentielle (E').

c°) Conclure sur la fonction g.

3°). Au bout de combien de temps la temperature de cette reaction chimique redescend-elle à sa valeur initiale?

Le resultat sera arrondi à la minute.

Voila je sait que c 'est long mais j'ai vrement besoin d'aide donc merci a ceux qui m'aideront.

[Barbidoux]

1---------------------------------------

(y_n+1-y_n)/0,05+y_n/2=20*exp(-t_n/2)

y_n+1-y_n+0,025*y_n=exp(-t_n/2)

(y_n+1=0,925*y_n+exp(-t_n/2)

2-------------------------------------------

f(t) = (20*t + 10)*exp(-t/2)

f(t)’= -(20*t + 10)*exp(-t/2)/2+20*exp(-t/2)

f’(t)+f(t)/2=20*exp(-t/2)

2a-------------------------------------------

g est une solution de E ==> g’+g/2=20*exp(-t/2)

f est une solution de E ==> f’+f/2=20*exp(-t/2)

f-g est solution de (f’-g’)+(f-g)/2=0

2b-------------------------------------------

y’+y/2=0 ==> y’=dy/dt ==> dy/y=-dt/2 ==> y = cst*exp(-t/2)

2c-------------------------------------------

f(0)=10 et g(0)=10 ==> cst=0 et f=g

3-------------------------------------------

Résolution numérique (par dichotomie) de l’équation: (20*t /60+ 10)*exp(-t/(2*60))-10=0 ou t s’exprime en min soit

y=(t/3+10)*exp(-t/120)-10=0

280 min<t<281 min