Cos X & Sin X

[m4rin3]

Bonjour, j'ai un exercice à faire, qui est le suivant, pouvez-vous m'aider sil vous plait?

Je joints une figure.

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O,i,j). C représente le cercle trigonométrique de centre O et d la tangente à C en A (1;0)

1) soit x un nombre réel vérifiant 0 < x < pi/2 et M le point de C tel que (i;OM) = x + k*2*pi (k appartient à Z)

H est le projetté orthogonal de M sur (OA) et T le point d'intersection des droites (OM) et d.

a)Montrer que AT = sin x/cos x

b)Exprimer en fonction de x les aires des triangles OMA et OTA

c)Montrer que l'aire du secteur angulaire OAM est égale à x/2

d)En déduire que pour tout x appartenant à ]0 ; pi/2[ on a x < sin x/x < 1 (inférieur ou égal)

2)soit x appartenant à ]-pi/2 ; 0[ En posant x= -X, justifier que cos x < sin x/x < 1 (inférieur ou égal)

3) end déduire la limite de sin x/x quand x tend vers 0

4) utiliser le résultat précédent pour déterminer les limites suivantes:

limite de sin3x/6x quand x tend vers 0

limite de -3x²+2x/sinx quand x tend vers 0

Merci beaucoup pour l'aide.

[elp]

1)

a)

ds OAT rectangle en A: tan(TOA)=TA/OA=TA/1=TA dc TA=sin(x)/cos(x)

b)

aire de OTA: OA*AT/2=(1/2)*sin(x)/cos(x)

aire de OMA: (1/2)MH*OA=(1/2)MH

ds OMH rect en H: sin(x)=MH/OM=MH/1=MH

dc aire de OMA=sin(x)/2

c)

2pi radians --> disque entier =pi*rayon²=pi

x radians--->x*pi/(2pi)=x/2

d)

on regarde la figure et on compare les 3 aires calculées avant:

OMA<=sect ang<=OAT

sin(x)/2<=x/2<=(1/2)sin(x)/cos(x)

sin(x)<=x<=sin(x)/cos(x)

x étant ds ]0,pi/2[, sin et cos st positifs

cos(x)/sin(x)<=1/x<=1/sin(x) (on range les inverses)

cos(x)<=sin(x)/x<=1 (on a tt multiplié par sin(x)

2)pour tt x:

cos(-x)=cos(x)

sin(-x)/(-x)=-sin(x)/(-x)=sin(x)/x

dc les inégalités st encore vraies

3) si x td vers 0: le 1er membre cos(x) td vers 1 et le 3è est 1 dc sin(x)/x td vers 1 (th des gendarmes)

4)

sin(3x)/6x=[sin(3x)/3x*2]=[sin(3x)/3x]*1/2

les [ ] td vers 0 et la limite est 1/2

-3x²+2*[x*sin(x)] td vers 0+2*1=2