Maths Ts

[jonasbrothers]

bonsoir , pouvez vous m'aider j'ai du mal avec cet exercice :

1_pour demontrer je ne sais pas comment mis prendre . derivée : cos(x) * x - sin(x) / x²

2a_je sais pas si je doit faire un tableau de variation et ensuite utilisé le theroreme de la bijection ??

3) a) -1<sin(x)<1 soit -1/x < sin(x)/x < 1/x la limite en infini c'est 0 (theoreme des gendarme )

b) et c)je sais pas comment faire

d)je sais pas non plus

merci d'avance

[jonasbrothers]

je vient de le finir . mais j'ai un autre exercice qui me pose probleme pouvez vous m'aider svp

[jonasbrothers]

je vient de le finir . mais j'ai un autre exercice qui me pose probleme pouvez vous m'aider svp

[elp]

il faut utiliser [f(u)]'=u' f'(u)

CQFD=ce qu'il fallait démontrer

1)pour tout x

[F(-x)]'=-1*F'(x) =-f(x)

on a dc -[F(-x)]'=-(-f(x))=f(x) dc CQFD

-F(-x)=F(x) dc F(-x)=-F(x) et F est impaire

2)

a)

g'(x)=(-1/x)'f(-1/x)=(1/x²)(1/(1/x² +1))=(1/x²)(x²/(1+x²))=1/(1+x²)=f(x)

dc CQFD

b)

on calcule l' intégrale de f(x) entre 1 et x (x>0)

on trouve F(x)-F(1) ou encore g(x)-g(1)=F(-1/x)-F(-1/1) car g est une prim de f

F(x)-F(1)=-F(1/x)+F(1) (car F impaire)

F(x)=2F(1)-F(1/x)

si x td vers +00, 1/x td vers 0 et F(1/x) td vers 0 par continuité en 0

F tend dc vers 2*F(1)

3)

h(x)=F(tanx)

la dérivée de tan(x) est 1+tan²(x)

h'(x)=(1+tan²(x))*f(tanx)=(1+tan²(x))*(1/(tan²(x)+1))=1

h'(x)=1 dc h(x)=x+cste

on va déterminer la cste

si x=0, tan(x)=0 et h(0)=F(tan(0))=F(0)=0

h(0)=0 fait que la cste est nulle dc h(x)=x

F(1)=F(tan(pi/4))=h(pi/4)=pi/4

2*F(1)=pi/2

[jonasbrothers]

oui mais pour la 1) cela ne montre pas que -F(-x) est une primitive de f

[Tryo]

oui mais pour la 1) cela ne montre pas que -F(-x) est une primitive de f

[jonasbrothers]

Sisi ça le montre bien. Une primitive de f est une fonction qui lorsqu'on la dérive nous donne f.

Or ici lorsque tu dérives -F(-x) tu as une dérivée composée qui, comme l'a montré elp nous donne bien f(x). De plus, F(0)=0 donc -F(0)=0 aussi. Donc -F(x) est bien une primitive de f.

[elp]

1/x² + 1=(1+x²)/x² et pour diviser par (1+x²)/x², on multiplie par son inverse x²/(1+x²)

1/x²)*(1/(1/x²)+1) =(1/x²)*(x²/(1+x²)) et il reste 1/(1+x²) car le x² du num se simplifie avec celui du dénom

[jonasbrothers]

1/x² + 1=(1+x²)/x² et pour diviser par (1+x²)/x², on multiplie par son inverse x²/(1+x²)

1/x²)*(1/(1/x²)+1) =(1/x²)*(x²/(1+x²)) et il reste 1/(1+x²) car le x² du num se simplifie avec celui du dénom

[elp]

oui, on peut, j'ai trouvé une autre façon

la dérivée de F(x)-F(-1/x) est f(x)-f(x) car F et g st des prim de f

F(x)-F(-1/x) est dc une constante K

si x=1, on a F(1)-F(-1/1)=K dc F(1)+F(1)=2F(1)=K

F(x)-F(-1/x)=2F(1)

F(x)=2F(1)+F(-1/x)=2F(1)-F(1/x)

[jonasbrothers]

oui, on peut, j'ai trouvé une autre façon

la dérivée de F(x)-F(-1/x) est f(x)-f(x) car F et g st des prim de f

F(x)-F(-1/x) est dc une constante K

si x=1, on a F(1)-F(-1/1)=K dc F(1)+F(1)=2F(1)=K

F(x)-F(-1/x)=2F(1)

F(x)=2F(1)+F(-1/x)=2F(1)-F(1/x)

[elp]

on a posé des questions avant et ce n'est jamais pour rien !

il faut se servir de ce que l'on a trouvé.

[jonasbrothers]

au debut j'ai commencé comme sa :

F et G étant deux primitives de f donc F(x)-G(x)=constante=C

donc C=F(1)-G(1)=F(x)-G(x)

mais je n'arrive pas à terminer , à trouver comme vous ?

[elp]

g(x)=F(-1/x) d'après l'énoncé dc g(1)=F(-1/1)=F(-1)=-F(1)

Tu as écrit que C=F(1)-g(1) donc C=F(1)-(-F(1))=F(1)+F(1)=2*F(1) et tu trouves bien ce qu'il faut